2025　関西学院大学　理系全学日程2月1日実施MathJax

【１】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　$11$本のくじの中に当たりくじが$3$本ある．この中から同時に$2$本のくじを引くとき，$2$本とも当たりくじである確率は$\text{ア}$である．

【１】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　$2^x=X$とおくとき，$4^x+2^{x+1}$$-8$$-16\cdot 2^{-x}$を$X$の式で表すと$\text{イ}$となる．したがって，$4^x+2^{x+1}$$-8$$-16\cdot 2^{-x}=0$を満たす$x$の値は，$x=\text{ウ}$である．

【１】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(3)　等式${\displaystyle \frac{3x^2-2x+4}{(x+1){(x-1)}^2}}$$={\displaystyle \frac{A}{x+1}}+{\displaystyle \frac{B}{x-1}}+{\displaystyle \frac{C}{{(x-1)}^2}}$が$x$についての恒等式となるように定数$A\text{，}$$B\text{，}$$C$の値を定める．このとき，$A=\text{エ}\text{，}$$B=\text{オ}\text{，}$$C=\text{カ}$である．

【１】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(4)　複素数平面において，点$z$が原点を中心とする半径$1$の円上を動くとき，$w=i(2z+3)$は点$\text{キ}$を中心とする半径$\text{ク}$の円をえがく．

【２】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

　次のような群に分けられた数列を考える．

$\underset{\underset{\text{第}1\text{群}}{⏟}}{{\displaystyle \frac{1}{2}},}$$|$$\underset{\underset{\text{第}2\text{群}}{⏟}}{{\displaystyle \frac{1}{3}},{\displaystyle \frac{2}{3}},}$$|$$\underset{\underset{\text{第}3\text{群}}{⏟}}{{\displaystyle \frac{1}{4}},{\displaystyle \frac{2}{4}},{\displaystyle \frac{3}{4}},}$$|$$\underset{\underset{\text{第}4\text{群}}{⏟}}{{\displaystyle \frac{1}{5}},{\displaystyle \frac{2}{5}},{\displaystyle \frac{3}{5}},{\displaystyle \frac{4}{5}},}$$|\cdots$

すなわち第$n$群は，分母が$n+1$で分子が$1$から$n$までの分数を，約分できるものも含めて小さい順に並べている．

(1)　第$15$項は$\text{ア}$であり，${\displaystyle \frac{7}{26}}$は第$\text{イ}$項である．また，第$6$群に属するすべての項の和は$\text{ウ}$であり，第$m$群に属するすべての項の和は$\text{エ}$である．

(2)　初項${\displaystyle \frac{1}{2}}$から第$m$群の最後の頃までのすべての項の和を$S_m$とすると$S_m=\text{オ}$である．

(3)　初項から第$n$項までの数列の和が初めて$2025$をこえるのは第$n$項が第$\text{カ}$群に属するときである．

(4)　第$m$群のうち値が${\displaystyle \frac{1}{2}}$以下の項の和を$U_m$とする．$U_7=\text{キ}$である．$U_m<3$となる$m$の最大値は$\text{ク}$である．

【３】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

　$n=2\text{，}$$3\text{，}$$4$に対して，関数$f_n(x)={\displaystyle \frac{\sin nx}{\sin x}}$$({\displaystyle \frac{\pi }{6}}\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$を考える．また，${\displaystyle \frac{\pi }{6}}\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$において，曲線$C_3\text{：}y=f_3(x)$および曲線$C_4\text{：}y=f_4(x)$を考える．

(1)　$f_n(x)$を$\cos x$の式で表すと，$f_2(x)={\displaystyle \frac{\sin 2x}{\sin x}}$$=\text{ア}\cos x\text{，}$$f_3(x)={\displaystyle \frac{\sin 3x}{\sin x}}$$=\text{イ}{\cos }^{2}x-1\text{，}$$f_4(x)={\displaystyle \frac{\sin 4x}{\sin x}}$$=\text{ウ}{\cos }^{3}x$$-4\cos x$である．

(2)　${\displaystyle \int }{f}_3(x)\mathit{dx}=\text{エ}+C$$\text{（}C$は積分定数）である．曲線$C_3$と$x$軸の交点の座標は$(\text{オ},0)$である．曲線$C_3\text{，}$$x$軸および直線$x={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$で囲まれた部分の面積は$\text{カ}$である．

(3)　${\displaystyle \int }{f}_4(x)\mathit{dx}=\text{キ}+C^{\prime }$$\text{（}{C}^{\prime }$は積分定数）である．曲線$C_4$と$x$軸で囲まれた部分の面積は$\text{ク}$である．

【４】　三角形$\mathrm{OAB}$において，$\mathrm{OA}=2\text{，}$$\mathrm{OB}=4\text{，}$$\mathrm{AB}=5$であるとし，辺$\mathrm{AB}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{D}$とする．また，点$\mathrm{A}$から直線$\mathrm{OD}$に下ろした垂線を$\mathrm{AH}$とし，線分$\mathrm{OD}$を$t:1-t$$\text{（}0<t<1\text{）}$に内分する点を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$の値を求めよ．また，線分$\mathrm{OD}$の長さを求めよ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$t$を用いて表せ．

(4)　$\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BP}}$が最小となるときの$t$の値を求めよ．また，そのときの$\mathrm{PH}$の長さを求めよ．