2025　同志社大　理系学部2月4日実施MathJax

【１】　次の$$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．

(1)　袋$\mathrm{A}$には白玉$2$個，赤玉$4$個が，袋$\mathrm{B}$には白玉$3$個，赤玉$2$個がそれぞれ入っている．袋$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$に対して，$\text{「}1$個のさいころを投げて，$1$か$2$の目が出れば袋$\mathrm{A}$を，他の目が出れば袋$\mathrm{B}$を選び，選んだ袋から玉を$1$個取り出して，取り出した玉はどちらの袋にも戻さない」という試行を，どちらかの袋の玉がすべてなくなるまで繰り返す．このとき，$1$回目の試行で袋$\mathrm{A}$から白玉を取り出す確率は$\text{ア}\text{，}$$1$回目の試行で白玉を取り出す確率は$\text{イ}\text{．}$$1$回目の試行で取り出した玉が赤玉であるとき，選ばれた袋が$\mathrm{A}$である確率は$\text{ウ}\text{．}$$2$回目の試行で取り出した玉が赤玉であるとき，$1$回目の試行で取り出した玉も赤玉である確率は$\text{エ}\text{．}$袋$\mathrm{B}$より先に袋$\mathrm{A}$の玉がすべてなくなる確率は$\text{オ}\text{．}$

【１】　次の$$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．

(2)　原点を$\mathrm{O}$とする座標空間内の$2$点を$\mathrm{A}(6\sqrt{3},3\sqrt{3}-25,3\sqrt{3}+26)\text{，}$$\mathrm{B}(2,3\sqrt{3}+27,3\sqrt{3}-26)$とすると，${\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|}^2=24\times (\text{カ})\text{．}$$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$を通る直線を$l$とすると，原点$\mathrm{O}$から直線$l$に垂線$\mathrm{OH}$を下ろしたときの点$\mathrm{H}$の$z$座標は$\text{キ}\text{．}$$r$を正の実数として，中心が点$\mathrm{H}\text{，}$半径が$r$の球面を$S_r$とし，中心が点$\mathrm{C}(1,1,0)\text{，}$半径が$3$の球面を$T$とする．$2$つの球面$S_r\text{，}$$T$が$1$点のみを共有するような$r$の値のうち，最大のものを$r_0$とすると，$r_0=\text{ク}\text{．}$$S_{r_0}$と$T$の共有点を$\mathrm{P}$とすると，点$\mathrm{P}$の$z$座標は$\text{ケ}\text{．}$$S_{r_0}$が$xy$平面と交わってできる円の半径は$\text{コ}\text{．}$

【２】　$n$を自然数とする．数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$を次の関係式で定める．

$a_1=1\text{，}$$a_2=1\text{，}$$a_{n+2}=a_{n+1}+{\displaystyle \frac{10(9-n)}{(n+2)(n+1)}}{a}_n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

$b_n=a_{n+1}+{\displaystyle \frac{9-n}{n+1}}{a}_n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

次の問いに答えよ．ただし，必要であれば，$a_n>0$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$であることを証明なしに用いてよい．

(1)　$a_3\text{，}$$b_1\text{，}$$b_2$を求めよ．

(2)　$b_{n+1}=c_n{b}_n$を満たす$c_n$について，$c_n$を$n$の式で表せ．

(3)　数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

(4)　すべての自然数$n$について$a_n\leqq a_{m_0}$が成り立つような自然数$m_0$を考える．このような$m_0$と$(10!)\cdot a_{m_0}$の値の組をすべて求めよ．

【３】　$\alpha$は$0<\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を満たす定数とし，$u=\sin \alpha$とする．関数$f(x)={\sin }^{2}x+{\cos }^2(x+\alpha )$とする．次の問いに答えよ．ただし，必要であれば，次の三角関数の和と積の関係式を用いてよい．

$\sin (A+B)-\sin (A-B)=2\cos A\sin B$

$\cos (A+B)-\cos (A-B)=-2\sin A\sin B$

(1)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}f(x)\mathit{dx}$を$\alpha$を含まない$u$の式で表せ．

(2)　$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$において，関数$f(x)$は$x=x_0$で最小値$c$をとるとする．このとき，$x_0$を$\alpha$の式で表し，$c$を$\alpha$を含まない$u$の式で表せ．

(3)　(2)の$c$について，曲線$y=f(x)$$(0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$と$3$つの直線$y=c\text{，}$$x=0\text{，}$$x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$で囲まれた$2$つの部分を$D_1\text{，}$$D_2$とする．$D_1\text{，}$$D_2$をそれぞれ直線$y=c$の周りに$1$回転させてできる立体の体積を$V_1\text{，}$$V_2$とするとき，${\displaystyle \frac{V_1+V_2}{\pi u^2}}$を$\alpha$を含まない$u$の式で表せ．

【４】　$x$を正の実数とし，$n$を$0$以上の整数とする．関数$f_n(x)$を

$f_0(x)=x^{-\log x}\text{，}$$f_n(x)=x{\displaystyle \frac{d}{\mathit{dx}}}{f}_{n-1}(x)$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定める．次の問いに答えよ．ただし，$\underset{a\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_0^a}{e}^{-s^2}\mathit{ds}={\displaystyle \frac{\sqrt{\pi }}{2}}$であることを証明なしに用いてよい．

(1)　$m$を自然数とする．実数$t$の関数$h(t)=(1+{\displaystyle \sum _{k=1}^m}{\displaystyle \frac{t^k}{k!}})e^{-t}$に対して，${\displaystyle \frac{d}{\mathit{dt}}}h(t)$を計算せよ．

(2)　$m$を自然数とする．実数$t$に対して，不等式${\displaystyle \frac{t^{2m}}{m!}}<e^{t^2}$が成り立つことを示せ．

(3)　$g_n(x)=f_n(x)\cdot x^{\log x}$とし，$x=e^u$として，合成関数$l_n(u)=g_n(e^u)$を考える．$l_0(u)\text{，}$$l_1(u)$を求めよ．また，$n\geqq 1$のとき，$l_n(u)$は$u$の$n$次式であることを示し，$l_n(u)$における$u^n$の項の係数を求めよ．

(4)　$I_n=\underset{b\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_{\frac{1}{b}}^b}{\{f_n(x)\}}^2{x}^{\log x-1}\mathit{dx}$とする．$I_0\text{，}$$I_1$の値を求めよ．

(5)　(4)の$I_n$について，$I_n$を$n$の式で表せ．