2025　愛知県立大学　前期MathJax

【１】　$n$を$2$以上の自然数とする．$1$個のさいころを$n$回続けて投げるとき，出る目の数を順に$x_1\text{，}$$x_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$x_n$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　出る目の最小値が$3$以上である確率を求めよ．

(2)　出る目の最大値が$4$である確率を$p_n$とするとき，${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }}{p}_{k+1}$を求めよ．

(3)　${(x_1-2)}^2{(x_2-2)}^2\cdots {(x_n-2)}^2=36$となる確率を求めよ．

【２】　$a$を$1\leqq a\leqq 2$を満たす実数とし，焦点が$(a,-{\displaystyle \frac{a^2}{8}})$で準線が$y={\displaystyle \frac{a^2}{8}}$の放物線を$C$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　放物線$C$の方程式が$y=-{\displaystyle \frac{2}{a^2}}{(x-a)}^2$であることを示せ．

(2)　点$(2,2)$を通る直線が放物線$C$に接するとする．その接点の$x$座標が${\displaystyle \frac{a}{2}}$であるとき，$a$を求めよ．

(3)　連立不等式

$y\geqq -2\text{，}$$x\leqq 2\text{，}$$y\leqq -{\displaystyle \frac{2}{a^2}}{(x-a)}^2$

の表す領域の面積の最大値とそのときの$a$を求めよ．

【３】　$\mathrm{O}$を原点とする座標空間において，$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$を，線分$\mathrm{OA}\text{，}$$\mathrm{OB}\text{，}$$\mathrm{OC}$を辺にもつ六面体が直方体となる空間の相異なる$3$点とする．また，$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{F}$はそれぞれ$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OF}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を満たす点とし，$\mathrm{L}$は線分$\mathrm{ED}$の$\mathrm{D}$側の延長線上にあり$\mathrm{EL}:\mathrm{LD}=2:1$を満たす点，$\mathrm{M}$は線分$\mathrm{OB}$の中点，$\mathrm{N}$は線分$\mathrm{FB}$の$\mathrm{B}$側の延長線上にあり$\mathrm{FN}:\mathrm{NB}=2:1$を満たす点とする．$\overrightarrow{\mathrm{OL}}$が$\overrightarrow{\mathrm{CM}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{CN}}$の両方に垂直であるとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OL}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{CM}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{CN}}$を，それぞれ$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて表せ．

(2)　線分$\mathrm{OA}\text{，}$$\mathrm{OB}\text{，}$$\mathrm{OC}$を辺にもつ直方体が立方体であることを示せ．

(3)　$t$を実数とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$$=(\cos t\cos 2t,-\sin t,-\cos t\sin 2t)$のとき，$\mathrm{▵OEF}$の面積を求めよ．