2024　札幌医科大学　前期MathJax

【１】　次の各問に答えよ．

(1)　$x$と$y$を$x>0\text{，}$$y\ne 0$をみたす実数とする．複素数$z=x+iy$（ただし$i$は虚数単位である）が方程式$z^3={\bar{z}}^2$の解（ただし$\bar{z}$は$z$と共役な複素数を表す）であるとき，$x$の値を求めよ．ただし答えは三角関数を用いずに表すこと．

【１】　次の各問に答えよ．

(2)　座標空間における$4$点$\mathrm{A}$$(-{\displaystyle \frac{7}{3}},2,-1)\text{，}$$\mathrm{B}$$(-{\displaystyle \frac{5}{3}},-1,4)\text{，}$$\mathrm{C}$$(0,2,{\displaystyle \frac{2}{3}})\text{，}$$\mathrm{D}$$(4,5,-1)$に対し，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$を通る直線を$l\text{，}$$\mathrm{C}$と$\mathrm{D}$を通る直線を$m$とする．このとき，$l$と$m$の交点の座標を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．

(3)　$1$から$1000$までの自然数のうち，$4\text{，}$$6\text{，}$$10$のいずれかで割り切れる数は全部で何個あるか．

【２】　$\theta$を$0\leqq \theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$をみたす実数とする．座標平面上の楕円$E\text{：}{\displaystyle \frac{x^2}{2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{3}}=1$に対して，直線$l\text{：}x\sin \theta -y\cos \theta =0$と$E$との$2$つの交点をそれぞれ$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{C}$とし，直線$m\text{：}x\cos \theta +y\sin \theta =0$と$E$との$2$つの交点をそれぞれ$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{D}$とする．ただし，$\mathrm{A}$の$x$座標および$\mathrm{B}$の$y$座標は共に正とする．

(1)　$2$点$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の座標を$\theta$の式で表せ．

　以下，四角形$\mathrm{ABCD}$の面積を$S$とする．

(2)　$S$を$\cos 2\theta$の式で表せ．

(3)　$\theta$が$0\leqq \theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲を動くとき，$S$の最大値と最小値を求めよ．また，$S$が最大値と最小値をとるときの$\theta$の値もそれぞれ答えよ．

【３】　$1$から$6$までの数字が一つずつ各面に書かれているが，面に書かれている数字を消して元の数字とは別の数字（ただし$1$から$6$までの数字）に書き換えることができる六面体のサイコロがある．書き換える際に，どの数字に書き換えられるかは同様に確からしいものとする．数字を書き換える前$\text{（}1$から$6$が一つずつ書かれている状態）のサイコロを「前サイコロ」と呼ぶ．一方，一つの面の数字を消して別の数字に書き換えたサイコロを「後サイコロ」と呼ぶ．

(1)「後サイコロ」の面に書かれている数字の合計を$S_1$とする（例えば，「前サイコロ」の$\text{「}4\text{」}$の面の数字が$\text{「}1\text{」}$に書き換えられた場合，$S_1=1+2+3+1$$+5+6=18$となる）．このとき$S_1>18$となる確率を求めよ．

(2)「前サイコロ」を二つ用意し，それぞれの「後サイコロ」を作成する．二つの後サイコロの面に書かれている数字の合計を$S_2$とする（例えば，一つ目の「前サイコロ」の$\text{「}4\text{」}$の面の数字が$\text{「}1\text{」}$に書き換えられ，二つ目の「前サイコロ」の$\text{「}3\text{」}$の面の数字が$\text{「}2\text{」}$に書き換えられた場合，$S_2=(1+2+3+1+5+6)$$+(1+2+2+4+5+6)=38$となる）．このとき$S_2=36$となる確率を求めよ．

【４】　$f(x)=\sqrt{x+2}$とする．関数$y=f(x)$のグラフを$C_1\text{，}$その逆関数$y=f^{-1}(x)$のグラフを$C_2$とする．

(1)　$f^{-1}(x)$を求めよ．

(2)　$C_1$と$C_2$の共有点の座標を求めよ．

(3)　$C_1\text{，}$$C_2$および$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

(4)　直線$y=x\text{，}$$C_2$および$y$軸で囲まれた部分を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．