2020　愛知県立大学　前期MathJax

【１】　$2$個のさいころを同時に投げて，出た目の和が$n$であるとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$n(n-1)$が$3$の倍数である確率を求めよ．

(2)　不等式$|n^2-2n-15|>n+3$が成り立つ確率を求めよ．

(3) 座標平面上の点$\mathrm{A}$$(\cos {\displaystyle \frac{n\pi }{6}},\sin {\displaystyle \frac{n\pi }{6}})\text{，}$点$\mathrm{B}$$(\cos {\displaystyle \frac{n^2\pi }{2}},\sin {\displaystyle \frac{n^2\pi }{2}})$について，点$\mathrm{A}$と点Bが異なるとき，この$2$点を結ぶ直線が原点$(0,0)$を通る確率を求めよ．

【２】　次の連立不等式の表す領域を$D$とする．

$\{\begin{array}{l}|x-y|+|x+y|\leqq x+1\\ x^2+2x+y^2\leqq 0\end{array}$

点$(x,y)$が領域$D$を動くとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$y$の最小値を求めよ．

(2)　$y-x$の最小値を求めよ．

(3)　$x^2+y^2-2x+4y+5$の最大値を求めよ．

【３】　$a\text{，}$$b$を正の定数とし，$xy$平面上の$2$つの曲線$C_1\text{：}y=\log (ax)+1$と，$C_2\text{：}y=b{x}^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}$が，点$\mathrm{P}$$(p,q)$において接しているとする．点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$$(0,1+{\displaystyle \frac{1}{p}})$を通る直線を$l$とし，$C_2\text{，}$$l$および$y$軸で囲まれた部分を$x$軸まわりに$1$回転させてできる立体の体積を$V$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$p\text{，}$$b$をそれぞれ$a$を用いて表せ．また，$q$の値を求めよ．

(2)　$V$を$a$を用いて表せ．

(3)　$V$の最小値を求めよ．また，そのときの$a$の値を求めよ．

【４】　方程式$x^5=1$の複素数の解のうち，実部と虚部が正であるものを$\alpha$とし，実部が正で虚部が負であるものを$\beta$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$\alpha \text{，}$$\beta$をそれぞれ極形式を用いて表せ．ただし，$\alpha \text{，}$$\beta$の偏角${\theta }_{\alpha }\text{，}$${\theta }_{\beta }$はそれぞれ$0<{\theta }_{\alpha }<2\pi \text{．}$$0\leqq {\theta }_{\beta }<2\pi$とする．

(2)　$\beta -{\displaystyle \frac{1}{\alpha }}$の値を求めよ．

(3)　${(\alpha +\beta )}^2+(\alpha +\beta )-1$の値を求めよ．

(4)　$\cos 2{\theta }_{\alpha }$の値を求めよ．