2019　愛知県立大学　前期MathJax

【１】　$a$を実数とし，関数$f(x)=x^2+ax+1$とする．$f(x)=0$の解を$\alpha \text{，}$$\beta$とおく．$2$次関数$g(x)$は$g^{″}(0)=4$を満たし，$g(x)=0$の解が$\alpha -{\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}$$\beta -{\displaystyle \frac{1}{2}}$であるとする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　すべての実数$x$について，不等式$g(x)\geqq f(x)$が成り立つ$a$の値の範囲を求めよ．

(2)　自然数$n$に対して，$h(n)={\displaystyle {\int }_1^n}g(x)\mathit{dx}-{\displaystyle \sum _{k=1}^n}f(k)$とおく．このとき，$h(1)$および$h(2)$を求めよ．

(3)　$a=-{\displaystyle \frac{8}{3}}$のとき，すべての自然数$n$について，不等式${\displaystyle {\int }_1^n}g(x)\mathit{dx}\geqq {\displaystyle \sum _{k=1}^n}f(k)$が成り立つことを示せ．

【２】　$a$を正の実数とし，$e$を自然対数の底とする．このとき，以下の問いに答えよ．ただし，$e=\underset{h\to \infty }{\lim }{(1+h)}^{\frac{1}{h}}$であることを用いてよい．

(1)　$\underset{x\to \infty }{\lim }{(1+{\displaystyle \frac{3}{x}})}^x$を求めよ．

(2)　$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{x^x}}{(x-a)}^x$ を求めよ．

(3)　$c$を(2)で求めた極限値とする．このとき，$\underset{T\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_0^T}{c}^x\cos x\mathit{dx}$を求めよ．

【３】　$r$を$1$より大きい実数とする．複素数平面上で，点$z$が原点を中心とする半径$r$の円上を動くとき，複素数

$w={\displaystyle \frac{1}{2}}(z+{\displaystyle \frac{1}{z}})$

で表される点$w$が描く図形を$C$とする．$a={\displaystyle \frac{1}{2}}(r+{\displaystyle \frac{1}{r}})\text{，}$$b={\displaystyle \frac{1}{2}}(r-{\displaystyle \frac{1}{r}})$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$とする．このとき，$w$の実部と虚部を，それぞれ$a\text{，}$$b\text{，}$$\theta$を用いて表せ．

(2)　$C$上の点$u$に対して，次の式が成り立つことを示せ．

${(u+\bar{u})}^2-4a^{2}u\bar{u}=4a^2(1-a^2)$

(3)　$\alpha$を絶対値が$1$である複素数とする．このとき，$C$上のある点$u$に対して$\alpha u$がまた$C$上の点であるならば，次のことが成り立つことを示せ．

$\mathrm{Re}(\alpha u)=\mathrm{Re}(u)$または$\mathrm{Re}(\alpha u)=-\mathrm{Re}(u)$

ただし，$\mathrm{Re}(\alpha u)\text{，}$$\mathrm{Re}(u)$はそれぞれ$\alpha u\text{，}$$u$の実部を表す．また，必要ならば(2)の式を用いてよい．

【４】　以下の問いに答えよ．

(1)　$2$種類の文字$\mathrm{R}\text{，}$$\mathrm{G}$から重複を許して合計$n$個を取って$1$列に並べるとき，並べ方は何通りあるか求めよ．ただし，$n$は$2$以上の自然数とする．

(2)　(1)でどの文字も$1$回以上現れる並べ方は何通りあるか求めよ．

(3)　$3$種類の文字$\mathrm{R}\text{，}$$\mathrm{G}\text{，}$$\mathrm{B}$から重複を許して合計$n$個を取って$1$列に並べるとき，どの文字も$1$回以上現れる並べ方は何通りあるか求めよ．ただし，$n$は$3$以上の自然数とする．

(4)　$\mathrm{R}$の文字が書かれたカード，$\mathrm{G}$の文字が書かれたカード，$\mathrm{B}$の文字が書かれたカード，$\mathrm{Y}$の文字が書かれたカードがそれぞれ$1$枚ずつある．これら$4$枚のカードから$1$枚のカードを引き，書かれている文字を確認してからもとに戻す．これをすべての文字が確認できるまで繰り返すとき，カードを引く回数が$n$回である確率を求めよ．ただし，$n$は$4$以上の自然数とする．