2019　札幌医科大学　前期MathJax

【１】　次の各問に答えよ．

(1)　一辺の長さが$a$である正八面体の体積を$a$を用いて表せ．

【１】　次の各問に答えよ．

(2)　$a$を定数とする．このとき$a\leqq x\leqq a+1$の範囲で定義された関数$f(x)=|x^2-1|$の最大値が$1$であるような$a$の条件を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．

(3)(ⅰ)　$n$を自然数とする．$2^n$が$4$桁の数になるときの$n$を求めよ．

(ⅱ)　$5^{130}$は何桁の数か．

【２】　四面体$\mathrm{OABC}$における$4$つの辺$\mathrm{OA}\text{，}\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{OC}$上にそれぞれ点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}\text{，}\mathrm{S}$をとる．ただし，$0<s<1\text{，}0<t<1$に対して，

辺$\mathrm{OA}$を$s:(1-s)$に内分する点を$\mathrm{P}$

辺$\mathrm{OC}$を$s:(1-s)$に内分する点を$\mathrm{S}$

辺$\mathrm{AB}$を$(1-t):t$に内分する点を$\mathrm{Q}$

辺$\mathrm{BC}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{R}$

とする．

(1)　$4$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}\text{，}\mathrm{S}$が同一平面上にあることを示せ．

三角形$\mathrm{XYZ}$の面積を$S_{\mathrm{XYZ}}$と表すものとする．三角形$\mathrm{PQR}$の重心$\mathrm{K}$と三角形$\mathrm{PRS}$の重心$\mathrm{L}$を結ぶ線分$\mathrm{KL}$を$S_{\mathrm{PRS}}:S_{\mathrm{PQR}}$に内分する点を$\mathrm{G}$とする．また，三角形$\mathrm{PQS}$の重心$\mathrm{M}$と三角形$\mathrm{QRS}$の重心$\mathrm{N}$を結ぶ線分$\mathrm{MN}$を$S_{\mathrm{QRS}}:S_{\mathrm{PQS}}$に内分する点を${\mathrm{G}}^{\prime }$とする．

(2)　$\mathrm{G}$と${\mathrm{G}}^{\prime }$が一致することを示せ．

(3)　$3$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{G}$を通る平面は$\mathrm{AC}$の中点を通ることを示せ．

【３】　次の各問に答えよ．

(1)　$N$を$0$以上の整数とするとき，$2^N$を$3$で割った余りを求めよ．

(2)　$n$を自然数，$a$を$0<a<1$をみたす実数とする．表か裏のどちらかが必ず出るコインがあり，このコインの表が出る確率を$a$とする．このコインを投げる試行を$n$回繰り返すとき，第$i$回目の試行（$i=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n$）において，表が出たときに$x_i=0\text{，}$裏が出たときに$x_i=1$と定め，$n$回の試行の結果，$x_1\text{，}{x}_2\text{，}\cdots \text{，}{x}_n$から得られる$0$以上の整数$X$を

$X={\displaystyle \sum _{i=1}^n}{2}^{i-1}{x}_i$

と定める．$X$が$3$の倍数となる確率を$p_n$とする．

(ⅰ)　$a={\displaystyle \frac{1}{2}}$とするとき，$p_n$を$n$を用いて表せ．

(ⅱ)　$p_1\text{，}{p}_2\text{，}{p}_3\text{，}{p}_4$をそれぞれ$a$の多項式で表せ．ただし，多項式は展開して答えること．

(ⅲ)　$a$が$0$から$1$の範囲を動くとき，$p_3$と$p_4$の最小値をそれぞれ求めよ．

【４】　定数$a>0$に対して，次の媒介変数表示された座標平面上の曲線を$C$とする：

$x=a(\theta -\sin \theta )\text{，}y=a(1-\cos \theta )\text{（}0\leqq \theta \leqq 2\pi \text{）}$

(1)　曲線$C$の長さを$a$を用いて表せ．

$C$上の点$\mathrm{A}(a(\theta -\sin \theta ),a(1-\cos \theta ))$において，$0<\theta <2\pi$では法線上に点$\mathrm{B}$を線分$\mathrm{AB}$の長さが$1$で，$\mathrm{B}$の$y$座標が$\mathrm{A}$の$y$座標より大きくなるようにとり，$\mathrm{A}$の座標が$(0,0)\text{，}(2\pi a,0)$のときの$\mathrm{B}$はそれぞれ$(-1,0)\text{，}(2\pi a+1,0)$とする．

(2)　点$\mathrm{B}$の座標を$a$と$\theta$を用いて表せ．

(3)　点$\mathrm{A}$が曲線$C$上を$\theta =0$から$\theta =2\pi$まで動いたときの点$\mathrm{B}$の軌跡を$C_1$とするとき，曲線$C_1$の長さを$a$を用いて表せ．