2018　千歳科学技術大　Ⅰ期MathJax

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(1)　$2abc+a{b}^2+a{c}^2$$-a^{2}b$$-b^{2}c$$-a^{2}c$$-b{c}^2$を因数分解しなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(2)　方程式$|5x|=2x^2-3$の解を求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(3)　$1$つのさいころを続けて$3$回投げるとき，出る目の数を順に$a\text{，}$$b\text{，}$$c$とする．$a+b+c$が偶数になる確率を求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(4)　$100$人の学生に，スキーをしたことがあるかスケートをしたことがあるかを尋ねたところ，スキーをしたことがある学生は$40$人，スケートをしたことがある学生は$55$ 人だった．スキーとスケートのどちらもしたことがない学生は，何人以上何人以下と推定されるか答えなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(5)　三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{\angle A}=60\mathrm{°}\text{，}$$\mathrm{AB}=5\text{，}$$\mathrm{AC}=8$のとき，三角形$\mathrm{ABC}$に内接する円の半径を求めなさい．

【２】　$n\geqq 2$であるすべての整数$n$について，次の不等式$\text{①}$が成り立つことを，数学的帰納法を用いて証明しなさい．証明は，解答欄内の記述に続けて書きなさい．

${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{k^2}}<2-{\displaystyle \frac{1}{n}}$$\cdots \text{①}$

【３】　次の$\text{①}\text{，}$$\text{②}\text{，}$$\text{③}$の連立不等式で表される領域を$R$とする．

$\{\begin{array}{ll}y\geqq -2x+12& \cdots \text{①}\\ y\leqq {\displaystyle \frac{2}{3}}x+{\displaystyle \frac{4}{3}}& \cdots \text{②}\\ y\leqq -{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+5x-{\displaystyle \frac{9}{2}}& \cdots \text{③}\end{array}$

　以下の問いに答えなさい．

(1)　領域$R$を$xy$平面に図示しなさい．

(2)　点$(x,y)$が領域$R$を動くとき，$y-x$の最大値および最小値を求めなさい．解答欄には途中の過程も書きなさい．

(3)　$y=-2x+12$と$y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+5x-{\displaystyle \frac{9}{2}}$で囲まれる領域の面積を求めなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

【４】　$m\text{，}$$n$を整数とするとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　$m$が奇数のとき，$m^2-1$は$8$の倍数になることを示しなさい．

(2)　$m^2$を$3$で割ると，余りは$0$または$1$になることを示しなさい．

(3)　$m^2+n^2$が$3$の倍数であるとき，$m$と$n$はどちらも$3$の倍数であることを示しなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(2)　$x$を実数として，方程式$|7x|=6x^2-5$の解を求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(5)　$\underset{h\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{\log (1+h)}{h}}$を求めなさい．

【４】　複素数について以下の問いに答えなさい．

(1)　複素数$z$が極形式で$z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$と表されるとき，${\displaystyle \frac{1}{z}}$を極形式で表しなさい．ただし，$r$と$\theta$は実数で，$r>0$とする．解答欄には答えのみ書きなさい．

(2)　複素数平面上で，$3$点$\mathrm{O}(0)\text{，}$$\mathrm{A}(-2+2\sqrt{3}i)\text{，}$$\mathrm{B}$について，$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}$かつ$\mathrm{\angle AOB}={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$のとき，点$\mathrm{B}$に対応する複素数を求めなさい．解答欄には途中の過程も書きなさい．

(3)　$z=1+\sqrt{3}i$とする．$z^n$$\text{（}n$は正の整数）に対応する複素数平面上の点を${\mathrm{A}}_n$とするとき，$4$点${\mathrm{A}}_1\text{，}$${\mathrm{A}}_2\text{，}$${\mathrm{A}}_3\text{，}$${\mathrm{A}}_4$を複素数平面上に図示しなさい．