2017　千歳科学技術大　Ⅱ期MathJax

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(1)　$a-ab-b^2-b+2a^2$を因数分解しなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(2)　${\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}}\cos x-{\displaystyle \frac{3}{2}}\sin x$を$r\sin (x+\alpha )$の形に変形しなさい．なお，$r>0\text{，}$$-\pi \leqq \alpha <\pi$とする．

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(3)　${\displaystyle {\int }_{-1}^1}|2x^2-x|\mathit{dx}$を求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(4)　$\sqrt{{\displaystyle \frac{240}{n}}}$が整数になるような$2$桁の整数$n$を求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(5)　大小$2$個のさいころを同時に投げるとき，一方の目が$1$で，他方の目が$1$ではない確率を求めなさい．

【２】　以下の問いに答えなさい．

(1)　$2$次方程式$a{x}^2+bx+c=0$の$2$つの解を$\alpha$と$\beta$とするとき，$\alpha +\beta$および$\alpha \beta$を$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を用いて表しなさい．なお，解答欄にはそれを導く過程を示しなさい．

(2)　$2$次方程式$4x^2-8x+1=0$の$2$つの解を$\alpha$と$\beta$とするとき，${\alpha }^4{\beta }^2+{\alpha }^2{\beta }^4$および${\displaystyle \frac{1}{{\alpha }^3}}+{\displaystyle \frac{1}{{\beta }^3}}$の値をそれぞれ求めなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

【３】　図のように頂点の座標が$(1,2)$である放物線$y=a{x}^2+bx+c$と直線$y={\displaystyle \frac{1}{2}}x+{\displaystyle \frac{1}{2}}$が点$\mathrm{A}(-1,0)$と点$\mathrm{B}$で交わっているとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$の値を求めなさい．解答欄には解答の過程も書きなさい．

(2)　交点$\mathrm{B}$の座標を求めなさい．解答欄には解答の過程も書きなさい．

(3)　放物線と直線で囲まれる領域（境界を含む）を$D$とする．点$(x,y)$が領域$D$内を動くとき，$x+y$の最大値と最小値を求めなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

【４】　整式$f(x)$について恒等式$f(x^2)=x^{2}f(x+1)$$+2x^3$$-6x^2+4$が成り立つとき，以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(1)　与式に$x=0$および$x=-1$を代入することによって$f(0)$および$f(1)$の値を求めなさい．

(2)　$f(x)=a{x}^2+bx+c$とおくとき，与式を満たす$a\text{，}$$b\text{，}$$c$の値をそれぞれ求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(5)　$f(x)=\sin 2x\cdot {\cos }^{2}x$について，$x={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$での微分係数を求めなさい．

【４】　$f(x)=x+2\sin x$について以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(1)　$f^{\prime }(x)$および$f^{″}(x)$を求めなさい．

(2)　$0\leqq x\leqq 2\pi$における$f(x)$の極値を求めなさい．

(3)　$0\leqq x\leqq 2\pi$における曲線$y=f(x)$の変曲点の座標を求めなさい．