2017　千歳科学技術大　Ⅰ期MathJax

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(1)　$\sin \theta +\cos \theta ={\displaystyle \frac{1}{3}}$のとき${\sin }^3\theta +{\cos }^3\theta$の値を求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(2)　${15}^2-{14}^2+{13}^2-{12}^2+{11}^2$$-{10}^2+9^2-8^2+7^2-6^2$$+5^2-4^2+3^2$$-2^2+1^2-0^2$の値を求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(3)　$x^2-a^2+4a-{\displaystyle \frac{15}{4}}+y^2=0$が表す曲線が円になるための実数$a$の範囲を求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(4)　$\mathrm{SCIENCE}$のアルファベット$7$文字を横$1$列に並べるとき両端に同じ文字が並ぶ確率を求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(5)　${\displaystyle {\int }_1^2}(3x^3-2x+1)\mathit{dx}$の値を求めなさい．

【２】　$\left[a\right]$は，$[-\mathrm{1,7}]=-2\text{，}$$\left[0.3\right]=0\text{，}$$\left[2\right]=2$のように，$a$を越えない最大の整数を表す記号である．以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(1)　$x=2.3$のとき$\left[x\right]\times [x+1]$の値を求めなさい．

(2)　$\left[x\right]=3$を満たす$x$の範囲を求めなさい．

(3)　$-4\leqq x\leqq 4$の範囲において，$y=\left[x\right]$のグラフをかきなさい．

(4)　$-3\leqq x\leqq 3$の範囲において，$y=\left[x\right]\times [x+1]$のグラフをかきなさい．

【３】　初項から第$n$項までの和が$S_n=3n^2-n$で表される数列$\{a_n\}$について以下の問いに答えなさい．解答欄には解答の過程を書くこと．

(1)　一般項$a_n$を求めなさい．

(2)　${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{a_k{a}_{k+1}}}$を求めなさい．

【４】　$xy$平面上の$2$つの位置ベクトル$\overrightarrow{a}=(t-2,3t-2)$と$\overrightarrow{b}=(t+1,2)$について以下の問いに答えなさい．

(1)　$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$が垂直になるときの$t$の値を求めなさい．

(2)　$\left|\overrightarrow{a}\right|$を最小にする$t$の値，およびそのときの$\left|\overrightarrow{a}\right|$を求めなさい．

(3)　$t$がすべての実数値をとって変化するとき，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$が表すそれぞれの点が描く軌跡を図示しなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(5)　${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}}3\sin 3\theta \cos 3\theta \mathit{d\theta }$を求めなさい．

【４】　以下の問いに答えなさい．解答欄には，(1)と(2)は解答の過程を書きなさい．(3)と(4)は答えのみ書きなさい．

(1)　$f(x)=e^x-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2-x-1$の増減を調べることによって，$0<x$において$1+x+{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2<e^x$であることを示しなさい．なお，$0<x$において$1+x<e^x$であることを用いてもよい．

(2)　$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{e^x}{x}}=\infty$であることを示しなさい．

(3)　$\underset{x\to \infty }{\lim }(2x+1)e^{-x}$を求めなさい．

(4)　関数$y=(2x+1)e^{-x}$の極値を求めなさい．