2016　千歳科学技術大　Ⅱ期MathJax

【１】　以下の問いに答えなさい．

(1)　$x=3\pm \sqrt{2}i$を解にもつ$2$次方程式が$x^2+ax+b=0$であるとき，$a$と$b$の値を求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．

(2)　$2$つのさいころを同時に振るとき，出た目の数の積が$3$の倍数になる確率を求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．

(3)　$3+2a{b}^2+6b-a-ab$を因数分解しなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．

(4)　$x={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}+1}}$および$y={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}-1}}$のとき$x^3-y^3$の値を求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．

(5)　$\sin x+\sqrt{3}\cos x=1$を満たす$x$の値を求めなさい．なお，$0\leqq x<2\pi$とする．

【２】　$x^2+y^2-8x-10y+5=0$で表される曲線を$C$とするとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　曲線$C$はどのような図形であるか解答欄に図示しなさい．

(2)　点$\mathrm{P}(4,17)$から曲線$C$へ$2$つの接線を引くとき，$2$つの接点の座標および$2$つの接線の方程式を求めなさい．

(3)　曲線$C$と(2)で求めた$2$つの接線で囲まれる部分の面積を求めなさい．解答には途中の計算過程を書くこと．

【３】　円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$がある．$\mathrm{AB}=5\text{，}$$\mathrm{BC}=4\text{，}$$\mathrm{AD}=5\text{，}$$\mathrm{\angle ABC}=120\mathrm{°}$のとき以下の問いに答えなさい．解答には途中の計算過程を書くこと．

(1)　対角線$\mathrm{AC}$の長さを求めなさい．

(2)　辺$\mathrm{CD}$の長さを求めなさい．

(3)　四角形$\mathrm{ABCD}$の面積$S$を求めなさい．

【４】　$\left|\overrightarrow{a}\right|=2\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|=1$で，$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$と$2\overrightarrow{a}-5\overrightarrow{b}$が垂直であるとき，以下の問いに答えなさい．解答には途中の計算過程を書くこと．

(1)　$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$の値を求めなさい．

(2)　$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$がなす角$\theta$$\text{（}0\mathrm{°}\leqq \theta <180\mathrm{°}\text{）}$の大きさを求めなさい．

(3)　$|2\overrightarrow{a}-5\overrightarrow{b}|$を求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．

(4)　$y=e^x\sin x$のとき，$2y^{″}-4y^{\prime }+4y$の値を求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．

(5)　${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{\cos }^{2}x\mathit{dx}$の値を求めなさい．

【４】　$f(x)=x+{\displaystyle \frac{1}{x}}$について以下の問いに答えなさい．

(1)　$f^{\prime }(x)$および$f^{″}(x)$を求めなさい．

(2)　$f(x)$の増減表を作りなさい．

(3)　$y=f(x)$のグラフをかきなさい．