2015　千歳科学技術大　Ⅱ期MathJax

【１】　以下の問いに答えなさい．

(1)　${\displaystyle \frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-1}}$の整数部分の数を答えなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．

(2)　$0\leqq x<\pi$のとき，$\sin 2x-\sin x=0$を満たす$x$を求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．

(3)　${(2^x)}^2-7\times 2^x+12=0$を満たす$x$を求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．

(4)　$f(-1)=0\text{，}$$f(1)=2\text{，}$$f(2)=-3$となる$2$次関数$f(x)$を求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．

(5)　${\displaystyle \frac{1}{1\times 2}}+{\displaystyle \frac{1}{2\times 3}}+{\displaystyle \frac{1}{3\times 4}}$$+{\displaystyle \frac{1}{4\times 5}}+{\displaystyle \frac{1}{5\times 6}}+{\displaystyle \frac{1}{6\times 7}}$$+{\displaystyle \frac{1}{7\times 8}}$$+{\displaystyle \frac{1}{8\times 9}}+{\displaystyle \frac{1}{9\times 10}}$を計算しなさい．

【２】　以下の問いに答えなさい．

(1)「周囲の長さが$L$の二等辺三角形の面積を最大にするには，どのような二等辺三角形にしたらよいか」という問題を以下のように考えるとき，途中の空欄を埋めなさい．

　図のように，二等辺三角形の底辺の長さを$x$とすると，三平方の定理を用いて二等辺三角形の高さ$h$は$h=\sqrt{{(\text{(a)})}^2-{(\text{(b)})}^2}$$={\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{\text{(c)}}$となる．これを用いて，二等辺三角形の面積$S$は，$S={\displaystyle \frac{1}{4}}\sqrt{\text{(d)}}$と表すことができる．$\sqrt{}$の中の$x$の関数を$f(x)$とすると，$f(x)=\text{(d)}$である．三角形の面積$S$を最大にするためには，$f(x)$が最大になればよい．そこで，$f(x)$を$x$で微分すると，$f^{\prime }(x)=\text{(e)}$であるから，$f(x)$は$x=\text{(f)}$で極大値かつ最大値となり，二等辺三角形の面積$S$は最大値となる．このとき，二等辺三角形の各辺の長さはそれぞれ$\text{(g)}$$\text{(h)}$$\text{(i)}$となることがわかる．

(2)　周囲の長さが$L$の長方形の面積を最大にするためには，どのような長方形にしたらよいか答えなさい．なお途中の計算過程も書くこと．

【３】　第$n$項が$n$個の数の和になっている次の数列について，以下の問いに答えなさい．

$1,$$1+3,$$1+3+5,$$1+3+5+7,$$1+3+5+7+9,\cdots$

(1)　第$n$項の中の$n$個目の数を$n$を用いて表しなさい．

(2)　第$n$項を求めなさい．途中の計算過程も書くこと．

(3)　初項から第$n$項までの和を求めなさい．途中の計算過程も書くこと．

【４】　$2$次方程式について以下の問いに答えなさい．

(1)　$x$についての$2$次方程式$a{x}^2+bx+c=0$の$2$つの解を$\alpha$と$\beta$とするとき，$\alpha +\beta$および$\alpha \beta$を$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を用いて表しなさい．解答欄には結果のみ書くこと．

(2)　$x$についての$2$次方程式$2x^2-x-5=0$の$2$つの解を$\alpha$と$\beta$とするとき，${\alpha }^3+{\beta }^3$の値を求めなさい．途中の計算過程も書くこと．

(3)　$x$についての$2$次方程式$2x^2-x+t=0$の$2$つの解を$\sin \theta$と$\cos \theta$とする．このとき，$t$の値を求めなさい．途中の計算過程も書くこと．

【２】　以下の関数に対応するグラフをグラフ群から選んで，解答欄にその記号を書きなさい．

$\text{(1) }y=|\cos x|$$\text{(2) }y=x^3+2x^2$$\text{(3) }y=e^{-2x^2}$$\text{(4) }y={\displaystyle \frac{1}{x}}+x$$\text{(5) }y=\sqrt{4-x^2}$

グラフ群

(ア)	(イ)	(ウ)
(エ)	(オ)	(カ)
(キ)	(ク)	(ケ)

【４】　$2$つの循環小数$a=0.\stackrel{\cdot }{7}8\stackrel{\cdot }{9}\text{，}$$b=0.\stackrel{\cdot }{3}2\stackrel{\cdot }{1}$について以下の問いに答えなさい．途中の計算過程も書くこと．

(1)　$a$と$b$をそれぞれ既約分数で表しなさい．

(2)　$a+b$の値を循環小数で表しなさい．