2014　千歳科学技術大　Ⅰ期MathJax

【１】　以下の問いに答えなさい．答えのみ解答欄に書きなさい．

(1)　次の$$に適語を入れなさい．

　整数$a$と$0$でない整数$b$によって，分数${\displaystyle \frac{a}{b}}$の形に表すことのできる数を$\text{ア}$といい，表すことができない数を$\text{イ}$という．

【１】　以下の問いに答えなさい．答えのみ解答欄に書きなさい．

(2)　$x$と$y$についての$1$次不等式$ax-2y>4$と$x+by<a$の解が一致しているとき，定数$a$と$b$の値をそれぞれ求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．答えのみ解答欄に書きなさい．

(3)　$x+y=1$のとき$x^2+y^2$の最小値を求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．答えのみ解答欄に書きなさい．

(4)　$\mathrm{▵ABC}$において，$\mathrm{AB}=4\text{，}$$\mathrm{AC}=7\text{，}$$\mathrm{\angle A}=120\mathrm{°}\text{，}$$\mathrm{\angle A}$の$2$等分線と$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，$\mathrm{AD}$の長さを求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．答えのみ解答欄に書きなさい．

(5)　円$x^2+y^2=2$と直線$y=x-1$の$2$つの交点を結ぶ線分の長さを求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．答えのみ解答欄に書きなさい．

(6)　$x^4-4$を複素数の範囲で因数分解しなさい．

【２】　次の定理について以下の問いに答えなさい．

定理：$\mathrm{▵ABC}$の辺$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{CA}\text{，}$$\mathrm{AB}$上にそれぞれ点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$があり，$3$直線$\mathrm{AP}\text{，}$$\mathrm{BQ}\text{，}$$\mathrm{CR}$が$1$点で交われば

${\displaystyle \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}}}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{QA}}}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RB}}}=1$

(1)　$\mathrm{AR}:\mathrm{RB}=5:4\text{，}$$\mathrm{AQ}:\mathrm{QC}=3:4$のとき$\mathrm{BP}:\mathrm{PC}$を求めなさい．途中の計算過程も書きなさい．

(2)　この定理を証明しなさい．

【３】　関数$y=4{\sin }^{4}x+{\sin }^{2}2x+4\sin x-3$$\text{（}0\leqq x\leqq 2\pi \text{）}$について，以下の問いに答えなさい．途中の計算過程も書きなさい．

(1)　$x={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$のとき，$y$の値を求めなさい．

(2)　$\sin x=t$のとき，$y$を$t$で表しなさい．

(3)　$y$の最大値と最小値を求めなさい．また，そのときの$x$の値も求めなさい．

【４】　関数$f(x)=x^3+k{x}^2+3x$について以下の問いに答えなさい．ただし$k$は実数の定数とする．途中の計算過程も書きなさい．

(1)　$k=-5$のとき，関数$f(x)$の極値を求めなさい．

(2)　$k=-3$のとき，関数$f(x)$のグラフをかきなさい．

(3)　関数$f(x)$がすべての実数の範囲で単調に増加するとき，$k$の値の範囲を求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．答えのみ解答欄に書きなさい．

(5)　$y=x{e}^{-x}$を微分しなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．答えのみ解答欄に書きなさい．

(6)　${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}x\sin x\mathit{dx}$を求めなさい．

【４】　$y=\sqrt{x}$で表される曲線$C$と$C$上の点$\mathrm{A}(4,2)$が与えられている．このとき以下の問いに答えなさい．途中の計算過程も書きなさい．

(1)　点$\mathrm{A}$における曲線$C$の接線および法線の方程式を求めなさい．

(2)　(1)で求めた法線と曲線$C$および$x$軸とで囲まれた部分の面積を求めなさい．