2013　千歳科学技術大　Ⅰ期MathJax

【１】　以下の各問いに答えなさい．答えのみ解答欄に書きなさい．

(1)　$a^3+b^3+c^3-3abc$を因数分解しなさい．

【１】　以下の各問いに答えなさい．答えのみ解答欄に書きなさい．

(2)　${}_{n}P_r=\times {}_{n-1}P_{r-1}$が成り立つとき，$$にあてはまる文字を求めなさい．

【１】　以下の各問いに答えなさい．答えのみ解答欄に書きなさい．

(3)　$a_1=5\text{，}$$a_{n+1}=3a_n-2$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$で定められた数列$\{a_n\}$の一般項を求めなさい．

【１】　以下の各問いに答えなさい．答えのみ解答欄に書きなさい．

(4)　$y=x+{\displaystyle \frac{7}{x+2}}$$\text{（}x>0\text{）}$の最小値を求めなさい．

【１】　以下の各問いに答えなさい．答えのみ解答欄に書きなさい．

(5)　$a>0\text{，}$$a\ne 1\text{，}$$xyz\ne 0$とする．$2^x=3^y=a^z$と${\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{y}}={\displaystyle \frac{1}{z}}$が成り立つとき，$a$の値を求めなさい．

【２】　方程式$a{x}^2+bx+c=0$を解きなさい．ただし，$a\text{，}$$b\text{，}$$c$は実数とする．途中の計算過程も書きなさい．

【３】　各辺の長さが$1$である正四面体$\mathrm{OABC}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき以下の問いに答えなさい．途中の計算過程も書きなさい．

(1)　$\mathrm{▵OAB}$の重心を$\mathrm{G}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表しなさい．

(2)　$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$と$\overrightarrow{\mathrm{GC}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{OG}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{GC}}$を求めなさい．

(3)　$\mathrm{GC}$の長さを求めなさい．

【４】　関数$y=4{\cos }^{3}x+3{\sin }^{2}x-6\cos x$$\text{（}0\leqq x\leqq 2\pi \text{）}$について以下の問いに答えなさい．途中の計算過程も書きなさい．

(1)　$\cos x=t$とおくとき，$y=4{\cos }^{3}x+3{\sin }^{2}x-6\cos x$を$t$の関数として表しなさい．

(2)　$t$の取り得る範囲を求めなさい．

(3)　$y=4{\cos }^{3}x+3{\sin }^{2}x-6\cos x$の最大値と最小値を求めなさい．またそのときの$x$の値も求めなさい．

【１】　以下の各問いに答えなさい．答えのみ解答欄に書きなさい．

(4)　$\pi$を円周率$\text{（}3.14159\cdots \text{）}$とするとき，次の無限数列の和$S$を求めなさい．

【１】　以下の各問いに答えなさい．答えのみ解答欄に書きなさい．

(5)　${\displaystyle {\int }_0^1}x\sqrt{1-x}\mathit{dx}$を求めなさい．

【４】　関数$y=e^{-\frac{x^2}{2}}$について以下の問いに答えなさい．途中の計算過程も書きなさい．

(1)　$y^{\prime }$および$y^{″}$を求めなさい．

(2)　極値を求めなさい．また変曲点の座標も求めなさい．

(3)　$y=e^{-\frac{x^2}{2}}$のグラフをかきなさい．