2012　千歳科学技術大　Ⅱ期MathJax

【１】　次の各問に答えなさい．答えのみ解答欄に書きなさい．

(1)　図のように，点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{C}$を接点とするとき，角$\mathrm{ABC}$の大きさを求めなさい．

【１】　次の各問に答えなさい．答えのみ解答欄に書きなさい．

(2)　$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{F}$の$6$文字を全部使って辞書式に配列するとき，前から$129$番目の文字列を書きなさい．

【１】　次の各問に答えなさい．答えのみ解答欄に書きなさい．

(3)　$x=1-\sqrt{2}i$のとき$x^3-4x^2+7x+6$の値を求めなさい．

【１】　次の各問に答えなさい．答えのみ解答欄に書きなさい．

(4)　${({\log }_{10}x)}^2-8{\log }_{10}x+15=0$を満たす$x$の値を求めなさい．

【１】　次の各問に答えなさい．答えのみ解答欄に書きなさい．

(5)　${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{k(k+1)}}$を計算しなさい．

【２】　次の各問に答えなさい．途中の計算過程も書きなさい．

(1)　図のように，$xy$平面上に点$\mathrm{P}(a,b)$をとる．線分$\mathrm{OP}$が$x$軸の正の向きとなす角を$\alpha \text{，}$また$\mathrm{OP}$の長さを$r$とする．このとき，$a\sin \theta +b\cos \theta$が$r\sin (\theta +\alpha )$の形に変形できることを示しなさい．

(2)　$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき$y=\sin \theta +\sqrt{3}\cos \theta$の最大値，最小値およびそのときの$\theta$の値を求めなさい．

(3)　$0\leqq \theta \leqq \pi$のとき$\sin \theta +\sqrt{3}\cos \theta =\sqrt{3}$を満たす$\theta$の値を求めなさい．

【３】　点$(-1,3,2)$を中心とする球が平面$x=2$と接しているとき，以下の問いに答えなさい．途中の計算過程も書きなさい．

(1)　この球の方程式を求めなさい．

(2)　この球が平面$y=2$と交わってできる円の中心の座標と半径を求めなさい．

【４】　点$(-2,6)$から放物線$y=-x^2+9$に引いた$2$本の接線とこの放物線で囲まれた図形について，次の各問に答えなさい．途中の計算過程も書きなさい．

(1)　$2$本の接線の方程式を求めなさい．

(2)　接線と放物線で囲まれた図形の面積を求めなさい．

【１】　次の各問に答えなさい．答えのみ解答欄に書きなさい．

(4)　極限値$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_0^x}{e}^{-t}\mathit{dt}$の値を求めなさい．

【１】　次の各問に答えなさい．答えのみ解答欄に書きなさい．

(5)　${\displaystyle \int }x\sin x\mathit{dx}$を求めなさい．

【４】　曲線$y={\displaystyle \frac{x^3}{{(x+1)}^2}}$について次の各問に答えなさい．途中の計算過程も書きなさい．

(1)　極値および変曲点を求めなさい．

(2)　曲線の漸近線を求めなさい．

(3)　曲線の概形をかきなさい．