2012　千歳科学技術大　Ⅰ期MathJax

【１】　次の各問いに答えなさい．答えのみ解答欄に書きなさい．

(1)　$2$次方程式$x^2-x-7=0$の$2$つの解をそれぞれ$\alpha \text{，}$$\beta$とするとき，${\alpha }^4+15\beta$の値を求めなさい．

【１】　次の各問いに答えなさい．答えのみ解答欄に書きなさい．

(2)　$1$つのさいころを$4$回投げて出る目の数をそれぞれ，$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$とするとき，$a+b+c+d=8$となる確率を求めなさい．

【１】　次の各問いに答えなさい．答えのみ解答欄に書きなさい．

(3)　$\mathrm{▵ABC}$において，$A=60\mathrm{°}\text{，}$$\mathrm{AB}=7\text{，}$$\mathrm{AC}=4$である．角$A$の$2$等分線と$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，$\mathrm{AD}$の長さを求めなさい．

【１】　次の各問いに答えなさい．答えのみ解答欄に書きなさい．

(4)　$3^x+3^{-x}$の最小値を求めなさい．

【１】　次の各問いに答えなさい．答えのみ解答欄に書きなさい．

(5)　点$\mathrm{P}$は円$x^2+y^2=4$の円周上を動く．点$\mathrm{A}(6,0)$と点$\mathrm{P}$を結ぶ線分$\mathrm{AP}$の中点$\mathrm{Q}$の軌跡を求めなさい．

【２】　$f(\theta )=-\cos 2\theta +2\cos \theta +{\displaystyle \frac{1}{2}}$$(0\leqq \theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$であるとき，以下の問いに答えなさい．途中の計算過程も書くこと．

(1)　$\cos \theta =t$とおくとき，$f(\theta )$を$t$の関数$g(t)$として表しなさい．また$t$の範囲も書きなさい．

(2)　$g(t)$のグラフを書きなさい．

(3)　$f(\theta )$の最大値，最小値およびそのときの$\theta$の値を求めなさい．

【３】　以下の問いに答えなさい．途中の計算過程も書くこと．

(1)　$\overrightarrow{a}=(2,1)\text{，}$$\overrightarrow{b}=(1,3)$のとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}$において実数$s$と$t$が右図の範囲を動く．このとき，点$\mathrm{P}$が存在する範囲を図示しなさい．

【３】　以下の問いに答えなさい．途中の計算過程も書くこと．

(2)　$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=(-1,1)\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=(2,7)$および実数$t$を用いて定義されるベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=(1-t)\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$が表す図形を求めなさい．

【３】　以下の問いに答えなさい．途中の計算過程も書くこと．

(3)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=(2,3)$を用いた方程式$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}-\overrightarrow{\mathrm{OC}}|=2$によって定義される点$\mathrm{P}$が表す図形を求めなさい．

【４】　以下の問に答えなさい．途中の計算過程も書くこと．

(1)　放物線$y=-x^2+4x$と$x$軸で囲まれた部分の面積を求めなさい．

(2)　直線$y=ax$と放物線$y=-x^2+4x$との交点の$x$座標を求めなさい．

(3)　直線$y=ax$が(1)の面積を$2$等分するような$a$の値を求めなさい．

【１】　次の各問いに答えなさい．答えのみ解答欄に書きなさい．

(4)　極限値$\underset{x\to \infty }{\lim }(\sqrt{x^2-2x+3}-x)$を求めなさい．

【１】　次の各問いに答えなさい．答えのみ解答欄に書きなさい．

(5)　${\displaystyle \int }\log x\mathit{dx}$を求めなさい．

【４】　$1+{\displaystyle \frac{1}{1!}}+{\displaystyle \frac{1}{2!}}+{\displaystyle \frac{1}{3!}}+{\displaystyle \frac{1}{4!}}+{\displaystyle \frac{1}{5!}}+{\displaystyle \frac{1}{6!}}+\cdots =e$$\text{（}e=2.7182813\cdots \text{）}$であることを用いて以下の値を求めなさい．途中の計算過程も書くこと．

(1)　${\displaystyle \frac{1}{1!}}+{\displaystyle \frac{2}{2!}}+{\displaystyle \frac{3}{3!}}+{\displaystyle \frac{4}{4!}}+{\displaystyle \frac{5}{5!}}+{\displaystyle \frac{6}{6!}}+\cdots$

(2)　${\displaystyle \frac{1}{2!}}+{\displaystyle \frac{2}{3!}}+{\displaystyle \frac{3}{4!}}+{\displaystyle \frac{4}{5!}}+{\displaystyle \frac{5}{6!}}+{\displaystyle \frac{6}{7!}}+\cdots$