2012　愛知県立大学　前期MathJax

2012-11481-0101

2012　愛知県立大学　前期

易□　並□　難□

【１】　 $3$ 行 $3$ 列に置かれた $9$ 個のライトがある．スイッチを入れると，それぞれのライトは青，黄，赤のいずれかの色に等しい確率で点灯するものとする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　すべてのライトが同じ色で点灯する確率を求めよ．

(2)　青，黄，赤の色が各 $1$ 色ずつ点灯している行の数が $1$ である確率を求めよ．

(3)　青，黄，赤の色が各 $1$ 色ずつ点灯している行の数の期待値を求めよ．

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易□　並□　難□

【２】　三角形 $ABC$ において $∠ A = θ ， ∠ B = 2 θ$ であるとする．このとき，以下の問いに答えよ．ただし，” $\cdot$ ”はベクトルの内積を表す．

(1)　 $\frac{| \vec{AC} |}{| \vec{BC} |}$ を， $\cos θ$ を用いて表せ．

(2)　次式が最大となるときの $\cos θ$ を求めよ．

$\frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{| \vec{AB} | | \vec{AC} |} + \frac{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}{| \vec{BA} | | \vec{BC} |} + \frac{\vec{CB} \cdot \vec{CA}}{| \vec{CB} | | \vec{CA} |}$

(3)　 $∠ B$ の二等分線と辺 $AC$ との交点を $D$ としたとき，次式を満たす $θ$ を求めよ．

$\frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{| \vec{AB} | | \vec{AC} |} + \frac{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}{| \vec{BA} | | \vec{BC} |} + \frac{\vec{CB} \cdot \vec{CA}}{| \vec{CB} | | \vec{CA} |}$ $= \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AD}}{| \vec{AB} | | \vec{AD} |} + \frac{\vec{BA} \cdot \vec{BD}}{| \vec{BA} | | \vec{BD} |} + \frac{\vec{DB} \cdot \vec{DA}}{| \vec{DB} | | \vec{DA} |}$

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易□　並□　難□

【３】　 $a$ を， $a > 0$ かつ $a \neq 1$ を満たす実数とし，

$F_{a} (x) = \int_{0}^{x} a^{t} \sin 2 π t d t （ 0 ≦ x ≦ 1 ）$

とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　次式が成り立つことを示せ．

$F_{a} (x) = \frac{2 π + a^{x} {(\log a) \sin 2 π x - 2 π \cos 2 π x}}{4 π^{2} + {(\log a)}^{2}}$

(2)　 $F_{a} (x)$ の最大値を， $a$ を用いて表せ．

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【４】　 $A = (\begin{matrix} \cos θ & - \sin θ \\ \sin θ & \cos θ \end{matrix})$ とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　すべての自然数 $n$ について， $A^{n} = (\begin{matrix} \cos n θ & - \sin n θ \\ \sin n θ & \cos n θ \end{matrix})$ となることを数学的帰納法で示せ．

(2)　 $θ = 20 °$ のとき， $A^{m} = E$ となる最小の自然数 $m$ を求めよ．ただし， $E = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})$ である．

(3)　 $θ = 20 °$ のとき，(2)で求められた $m$ を用いて

$A + A^{2} + \dots + A^{m}$

を求めよ．

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