2011　千歳科学技術大　Ⅰ期MathJax

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(1)　$x+{\displaystyle \frac{1}{x}}=\sqrt{7}$のとき$x^3+{\displaystyle \frac{1}{x^3}}$の値を求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(2)　$9$人の子供を$3$人ずつ$3$つのグループに分ける方法は何通りあるか答えなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(3)　$({\log }_{2}3+{\log }_{4}3)({\log }_{3}2+{\log }_{9}2)$の値を求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(4)　初項から第$n$項までの和が$S_n=2n^2-3n$で表される数列の一般項を求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(5)　「必要条件，十分条件，必要十分条件，必要条件でも十分条件でもない」のうちから$$にあてはまる最も適切なものを$1$つ選びなさい．

$\text{「}{x}^2-3x=0$は$x=3$であるための$\text{」}$

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(6)　次の$4$点が同一平面上にあるとき，$y$の値を求めなさい．

$\mathrm{A}(2,0,0)\text{，}$$\mathrm{B}(0,y,0)\text{，}$$\mathrm{C}(0,0,4)\text{，}$$\mathrm{D}(-2,2,3)$

【２】　関数$y=\sin (x+{\displaystyle \frac{\pi }{6}})+\cos x$$\cdots \text{①}$について以下の問いに答えなさい．ただし，$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．

(1)　式$\text{①}$を$y=r\sin (x+\alpha )$と変形するとき$r$と$\alpha$の値を求めなさい．解答欄には途中の計算過程も書きなさい．

(2)　$y$の最大値および最小値を求めなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(3)　式$\text{①}$のグラフをかきなさい．

【３】　以下の問いに答えなさい．解答欄には途中の計算過程も書きなさい．

(1)　曲線$y=x^3$において，傾きが$3$である接線の方程式を求めなさい．

(2)　曲線$y=x^3$上の第$1$象限内の部分に点$\mathrm{P}$をとる．点$\mathrm{P}$における接線が$x$軸，$y$軸およびもとの曲線と交わる点をそれぞれ$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}\text{，}$$\mathrm{S}$とする．このとき$\mathrm{PQ}:\mathrm{QR}:\mathrm{RS}$を求めなさい．

【４】　以下の問いに答えなさい．解答欄には途中の計算過程も書きなさい．

(1)　放物線$y=x^2-x-6$と$x$軸で囲まれた図形の面積を求めなさい．

(2)　${\displaystyle {\int }_{\alpha }^{\beta }}(x-\alpha )(x-\beta )\mathit{dx}=-{\displaystyle \frac{1}{6}}{(\beta -\alpha )}^3$が成り立つことを示しなさい．