2011　愛知県立大学　前期MathJax

【１】　数直線上を次の規則で動く点$\mathrm{P}$がある．

(規則$\mathrm{A}\text{)}$　コインを投げて，表が出たら正の方向に$2$進み，裏が出たら負の方向に$1$進む．

　はじめに点$\mathrm{P}$は原点$\mathrm{O}$にあるものとし，$n$回コインを投げたときの点$\mathrm{P}$の座標を$X(n)$で表す．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$X(9)=0$となる確率を求めよ．

(2)　点$\mathrm{P}$が座標$-3$に到達した場合，その後コインを投げても移動しないという条件を(規則$\mathrm{A}\text{)}$に追加した新たな規則を(規則$\mathrm{B}\text{)}$とする．このとき，$X(9)=0$となる確率を求めよ．

(3)　(規則$\mathrm{B}\text{)}$のもとで，$X(4)$の期待値を求めよ．

【２】　方程式$y=-x^2+2x+8$で表される放物線を$C_1$とする．放物線$C_1$と$x$軸とで囲まれた図形の内部にある円で，放物線$C_1$と$x$軸に$3$点で接するものを$C_2$とする．放物線$C_1$と$x$軸との$2$つの交点，および放物線$C_1$の頂点を通る円を$C_3$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　円$C_2$の方程式を求めよ．

(2)　円$C_3$の面積が円$C_2$の面積の何倍となるか求めよ．

(3)　放物線$C_1$の頂点を通り，円$C_2$に接する$2$つの接線の方程式を求めよ．

【３】　曲線$C_1\text{：}y=p\cos x\text{，}$$C_2\text{：}y=q\sin x$について，以下の問いに答えよ．ただし$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{，}$$p>0\text{，}$$q>0$である．

(1)　曲線$C_1$と$C_2$の交点の$x$座標を$\alpha$とするとき，$\sin \alpha$と$\cos \alpha$を$p\text{，}$$q$で表せ．

(2)　曲線$C_1\text{，}$$C_2$と$x$軸で囲まれた部分の面積を$S$とするとき，$S$を$p\text{，}$$q$で表せ．

(3)　$p\text{，}$$q$が$p^2+q^2=4$を満たすとき，(2)で求めた面積$S$の最大値を求めよ．

【４】　実戦を成分に持つ行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ b& a\end{array}\right)$とベクトル$P=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)\text{，}$$Q=\left(\begin{array}{c}z\\ w\end{array}\right)$について，以下の問いに答えよ．ただし，$b\ne 0$とする．

(1)　$x={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$のとき，$AP=\alpha P$と$y>0$を満たす$\alpha$と$y$を求めよ．

(2)　次の$3$条件を満たす$\beta \text{，}$$z\text{，}$$w$を求めよ．

$AQ=\beta Q\text{，}$$z^2+w^2=1\text{，}$$z<w$

(3)　(1)と(2)で定められた$\alpha \text{，}$$\beta \text{，}$$x\text{，}$$y\text{，}$$z\text{，}$$w$を用いて，次式を計算せよ．

$\alpha \left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)(\begin{array}{cc}x& y\end{array})+\beta \left(\begin{array}{c}z\\ w\end{array}\right)(\begin{array}{cc}z& w\end{array})$

(4)　(3)の結果を用いて，$A^n$を求めよ．ただし，$n$は$1$以上の自然数とする．