2010　愛知県立大学　前期MathJax

【１】　袋の中に$1$から$5$までの番号のついた玉がそれぞれ$2$個ずつ入っている．この袋から$1$個ずつ玉を取り出す．ただし，一度取り出した玉は袋に戻さないものとする．このとき以下の問いに答えよ．

(1)　$1$回目に取り出した玉の番号と$4$回目に取り出した玉の番号とが同じである確率を求めよ．

(2)　$1$回目に取り出した玉の番号が，$4$回目に取り出した玉の番号より大きい確率を求めよ．

(3)　$2$回目以降に取り出した玉の番号が，それまでに取り出した玉の番号のいずれかと同じ番号となるまで繰り返すとき，取り出した玉の個数の期待値を求めよ．

【２】　$4$次式$f(x)=x^4-3x^2+mx+n$（$m\text{，}n$は実数）について，以下の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$を$x^2+x+1$で割ったとき，余りが$x+1$であった．このとき，$m$と$n$の値を求めよ．

(2)　$f(x)=0$の一つの解が$1+\sqrt{2}i$であるとき，$m$と$n$を定め，残りの解を求めよ．ただし，$i$は虚数単位である．

(3)　$m=0$のとき，$f(x)=0$の解がすべて実数であるような$n$の範囲を求めよ．

【３】　関数$f(x)=x{e}^x$について，以下の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$の最小値を求めよ．

(2)　$f(x)$の接線の傾きが負であるとき，接線と$x$軸との交点の$x$座標の最大値を求めよ．

【４】　原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上に$2$点$\mathrm{P}(a,c)$および$\mathrm{Q}(b,d)$をとり，$\mathrm{▵OPQ}$を考える．また，線分$\mathrm{OP}$が$x$軸の正の部分となす角を$\theta$とする．ただし，$\theta$は時計の針の回転と逆の向きを正とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$\sin \theta$と$\cos \theta$を$a\text{，}c$の式で表せ．

(2)　点$\mathrm{Q}$を原点の周りに$-\theta$だけ回転させた点を$(x,y)$とするとき，$x\text{，}y$を$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$で表せ．

(3)　$\mathrm{▵OPQ}$の面積を$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$で表せ．

(4)　一次変換

$A=\left(\begin{array}{cc}\sqrt{2}+\sqrt{5}& 3\\ 1& \sqrt{2}-\sqrt{5}\end{array}\right)$

によって，点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$がそれぞれ点${\mathrm{P}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{Q}}^{\prime }$に移されるものとする．$\mathrm{▵O}{\mathrm{P}}^{\prime }{\mathrm{Q}}^{\prime }$の面積は$\mathrm{▵OPQ}$の何倍か．