2006　千歳科学技術大　Ⅰ期MathJax

【１】　以下の問に答えなさい．

(1)　${(x+y+1)}^3-(x^3+y^3+1)$を因数分解しなさい．

【１】　以下の問に答えなさい．

(2)　$x^2-2xy+5y^2$$+6x$$-14y+5$の最小値を求めなさい．また，そのときの$x\text{，}$$y$の値を求めなさい．

【１】　以下の問に答えなさい．

(3)　$xy>0$で$x^2-3xy-4y^2=0$のとき，${\displaystyle \frac{xy-y^2}{x^2+xy+y^2}}$の値を求めなさい．

【１】　以下の問に答えなさい．

(4)　$k=3^x=5^y$で${\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{y}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき，$k$の値を求めなさい．

【１】　以下の問に答えなさい．

(5)　初項$a_1=2\text{，}$公比$3$の等比数列の一般項を$a_n$とする．このとき${a_1}^2+{a_2}^2$$+\cdots$$+{a_n}^2$を求めなさい．

【２】　放物線$y=x^2$上に$2$点$\mathrm{P}(p,p^2)\text{，}$$\mathrm{Q}(q,q^2)$をとる．ただし，$p>q$とする．このとき以下の問に答えなさい．

(1)　$2$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$における接線の交点$\mathrm{R}$の座標を$p$と$q$を用いて表しなさい．

(2)　$\mathrm{R}$の座標が$(1,-3)$のとき，$p$と$q$の値を求めなさい．

(3)　(2)の場合に，放物線と直線$\mathrm{PQ}$で囲まれた部分の面積を求めなさい．

【３】　東西に$5$本，南北に$5$本の道路を持つ町がある．このとき以下の問に答えなさい．

(1)　右上の図で，$\mathrm{A}$地点から$\mathrm{B}$地点まで遠回りをせずに行く道順は何通りあるか答えなさい．

(2)　右上の図で，$\mathrm{P}$地点と$\mathrm{Q}$地点の交差点が同時に通行止めになったとき，$\mathrm{A}$地点から$\mathrm{B}$地点まで遠回りをせずに行く道順は何通りあるか答えなさい．

(3)　右下の図のように，それぞれの道の通行方向が決められたとき，$\mathrm{A}$地点から$\mathrm{B}$地点まで遠回りをせずに行く道順は何通りあるか答えなさい．