2006　旭川医科大学　後期MathJax

【１】　$x\text{，}y\text{，}z$は負の数で，$x+y+z<\mathrm{-3}$および$x^2+y^2+z^2+2xyz=1$を満たすとき，次の問いに答えよ．

問１　$(x+1)(y+1)(z+1)\leqq 0$であることを示せ．

問２　$x\text{，}y\text{，}z$がすべて無理数である$x\text{，}y\text{，}z$の例を$1$組あげよ．

【２】　$2$つの行列$A=\left(\begin{array}{cc}31& 5\sqrt{3}\\ 5\sqrt{3}& 21\end{array}\right)\text{，}P=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$に対して$B=P^{\mathrm{-1}}AP$とするとき，次の問いに答えよ．

問１　$B=\left(\begin{array}{cc}\alpha & 0\\ 0& \beta \end{array}\right)$となるように$\theta {\displaystyle (0\leqq \theta \leqq \frac{\pi }{2})}$の値を定め，$\alpha \text{，}\beta$の値を求めよ．

問２　問１で求めた$\theta$を用いて，方程式$31x^2+21y^2+10\sqrt{3}xy-1=0$の表す曲線を原点の回りに角$-\theta$だけ回転移動して得られる曲線の方程式を求めよ．

【３】　$2$つの実数$a\text{，}b$のうち大きい方を$\max \{a,b\}\text{，}$小さい方を$\min \{a,b\}$で表す．ただし，$a=b$のときは，$\max \{a,a\}=\min \{a,a\}=a$とする．

　$0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲で，関数$f(x)\text{，}g(x)$を

• $f(x)=\min {\displaystyle \{\frac{1}{\sin x},\frac{1}{\cos x}\}}$
• $g(x)=\max {\displaystyle \{\tan x,\frac{1}{\tan x}\}}$

とするとき，次の問いに答えよ．

問１　$2$つの曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$はそれぞれ直線${\displaystyle x=\frac{\pi }{4}}$に関して対称であることを示せ．

問２　$2$つの曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$で囲まれた図形の面積を$S$とするとき，$e^x$の値を求めよ．ただし，$e$は自然対数の底である．

【４】　$2$以上の自然数$n$に対し，$f_n(x)={\displaystyle \frac{x^n}{n!}}{e}^{-x}\text{（}x\geqq 0\text{）}$とおくとき，次の問いに答えよ．

問１　$f_n(x)$の増減，グラフの凹凸を調べ，$y=f_n(x)$のグラフの概形を描け．

問２　${\displaystyle {\int }_0^1}{f}_n(x)dx$を$n$を用いて表せ．

問３　$0\leqq x\leqq 1$で$f_n(x)\leqq f_n(1)$であることと問２の結果とを用いて，無限級数${\displaystyle 1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\cdots }$の和を求めよ．