2004　愛知県立大学　前期MathJax

【１】　数列$\{a_n\}$が

$a_1={\displaystyle \frac{1}{n+1}}\text{，}$${\displaystyle \frac{a_{k+1}{a}_k}{a_k-a_{k+1}}}=1$$\text{（}k=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定義されている．ここで，$n$は自然数である．以下の問いに答えよ．

(1)　$n\text{，}$$k$を用いて，$a_k$を表せ．

(2)　$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k$とするとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$を求めよ．

【２】　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$は実数で，$X={\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\begin{array}{cc}a+b+c& a-b-c\\ a-b+c& a+b-c\end{array}\right)$とする．ただし，$a\ne b$である．以下の問いに答えよ．

(1)　$X=aA+bB\text{，}$$A+B=E$を満たす行列$A\text{，}$$B$を求めよ．ただし，$E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$である．

(2)　$n$を自然数として，$A^n\text{，}$$B^n\text{，}$$X^n$を求めよ．

【３】　以下の問いに答えよ．

(1)　$\cos 15\mathrm{°}\text{，}$$\sin 15\mathrm{°}$の値をそれぞれ求めよ．

(2)　$2$次方程式$x^2+ax$$+b=0$は，絶対値が$4$である$2$つの虚数解（実部と虚部がある）$\alpha \text{，}$$\beta$をもつ．複素数平面上で$\alpha \text{，}$$\beta$の表す点をそれぞれ$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$とする．このとき，原点$\mathrm{O}$を頂点とする三角形$\mathrm{OAB}$において，$\mathrm{\angle AOB}$が$30\mathrm{°}$となるような実数$a\text{，}$$b$の値を定めよ．

【４】　$xy$平面上で，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円周上を反時計方向に等速円運動をする$2$つの点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$を考える．$\mathrm{P}$を$(1,0)\text{，}$$\mathrm{Q}$を$(-1,0)$とし，時刻$t=0$で点$\mathrm{P}$を出発点として，$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$がそれぞれ毎秒$a\text{，}$$b$ラジアンだけ回転するとき，以下の問いに答えよ．ただし，$0<b<a\text{，}$$0\leqq t<{\displaystyle \frac{\pi }{a}}$である．

(1)　時刻$t$のときの三角形$\mathrm{QAB}$の面積$S(t)$を求めよ．

(2)　$a=3b$とするとき，$S(t)$を最大にする点$\mathrm{B}$の$x$座標を求めよ．