2026　大学入学共通テスト　本試験　数学I・数学IAMathJax

【１】

〔１〕　全体集合$U$を$2$以上$20$以下の自然数全体の集合とする．すなわち

$U=\{2,3,4,\cdots ,20\}$

である．

　$2$以上$9$以下の自然数$a\text{，}$$b$に対して，$U$の部分集合$A\text{，}$$B$を

$A=\{k|k\in U\text{，}$$k\text{と}a\text{は}1\text{以外の正の公約数をもつ}\}$

$B=\left\{k\right|k\in U\text{，}$$k\text{と}b\text{は}1\text{以外の正の公約数をもつ}\}$

とする．

　例えば

$a=7$のとき，$A=\{7,14\}$

$a=9$のとき，$A=\{3,6,9,12,15,18\}$

である．

(1)　$a=3$のとき，$A=\text{ア}\text{，}$$b=4$のとき，$B=\text{イ}$である．このとき

$A\cap B=\text{ウ}\text{，}$$A\cap \bar{B}=\text{エ}$

である．

　$\text{ア}\text{〜}$$\text{エ}$の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい．）

(2)　$a\text{，}$$b$が$2$以上$9$以下の自然数であることに注意して，$a\text{，}$$b$について考えよう．

(ⅰ)　$\bar{A}$の要素に，$2$の倍数も$3$の倍数もないとき

$a=\text{オ}$

である．

(ⅱ)　$A\cap \bar{B}=\{5\}$であるとき

$a=\text{カ}\text{，}$$b=\text{キ}$

である．

【１】

〔２〕　以下の問題において比を解答する場合は，最も簡単な整数の比で答えよ．

(1)　四角形$\mathrm{ABCD}$の面積$S$について考えよう．以下では，四角形$\mathrm{ABCD}$の内角$\mathrm{\angle A}\text{，}$$\mathrm{\angle B}\text{，}$$\mathrm{\angle C}\text{，}$$\mathrm{\angle D}$の大きさを，それぞれ$A\text{，}$$B\text{，}$$C\text{，}$$D$で表す．ただし，四つの内角はいずれも$180\mathrm{°}$より小さいものとする．

　対角線$\mathrm{BD}$を共通の$1$辺とする$\mathrm{▵ABD}$と$\mathrm{▵BCD}$の面積を，それぞれ$S_1\text{，}$$S_2$とすると

$S_1={\displaystyle \frac{\text{ク}}{2}}\sin A\text{，}$$S_2={\displaystyle \frac{\text{ケ}}{2}}\sin C$

となる．

　四角形$\mathrm{ABCD}$の四つの内角が$A+C=B+D$を満たすとき，$A+C=\text{コ}$となる．このとき，$\sin C$を$\sin A$を用いて表せることに注意すると

$S=S_1+S_2={\displaystyle \frac{\text{サ}}{2}}\sin A$$\cdots \text{①}$

となる．

　$\text{ク}\text{，}$$\text{ケ}$の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい．）

　$\text{コ}$の解答群

　$\text{サ}$の解答群

(2)　点$\mathrm{O}$を中心とする半径$6$の円$\mathrm{O}$が，線分$\mathrm{PQ}$上の$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$と異なる点$\mathrm{M}$において線分$\mathrm{PQ}$に接している．$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$それぞれを通る円$\mathrm{O}$の接線で，直線$\mathrm{PQ}$と異なるものを引き，この円との接点をそれぞれ$\mathrm{K}\text{，}$$\mathrm{L}$とする．以下では直線$\mathrm{PK}\text{，}$$\mathrm{QL}$が交わる場合を考え，その交点を$\mathrm{R}$とする．このとき，$\mathrm{▵PQR}$の辺の長さについて考えよう．

(ⅰ)　$\mathrm{PK}=12\text{，}$$\mathrm{QL}=9$であるときを考え，$\mathrm{\angle KPM}=P\text{，}$$\mathrm{\angle LQM}=Q$とする．このとき，$2$直線$\mathrm{PK}\text{，}$$\mathrm{QL}$の交点$\mathrm{R}$は直線$\mathrm{PQ}$に関して点$\mathrm{O}$と同じ側にある．

　四角形$\mathrm{PMOK}$が$\mathrm{▵PMO}$と$\mathrm{▵PKO}$に分けられることに注意すると，四角形$\mathrm{PMOK}$の面積は$\text{シス}$であることがわかる．このことから，$\text{①}$を用いると，$\sin P={\displaystyle \frac{\text{セ}}{\text{ソ}}}$となることがわかる．

　四角形$\mathrm{QLOM}$についても同様に考えると，$\sin Q={\displaystyle \frac{\text{タチ}}{\text{ツテ}}}$となることもわかる．よって，$\mathrm{PR}:\mathrm{QR}=\text{トナ}:\text{ニヌ}$となり，これにより$\mathrm{RL}={\displaystyle \frac{\text{ネノ}}{\text{ハ}}}$と求められるので，$\mathrm{▵PQR}$の辺の長さを求めることができる．

(ⅱ)　$\mathrm{PK}=4\sqrt{2}\text{，}$$\mathrm{QL}=3\sqrt{2}$であるときを考える．このとき，$2$直線$\mathrm{PK}\text{，}$$\mathrm{QL}$の交点$\mathrm{R}$は，直線$\mathrm{PQ}$に関して点$\mathrm{O}$と反対側にある．このことに注意すると$\mathrm{RL}=\text{ヒフ}\sqrt{\text{ヘ}}$と求められるので，$\mathrm{▵PQR}$の辺の長さを求めることができる．

【２】

〔１〕　$2$次関数の最大値，最小値について考えよう．

(1)　$2$次関数$y=2x^2$$-8x+5$は$0\leqq x\leqq 3$において，$x=\text{ア}$で最大値$\text{イ}$をとり，$x=\text{ウ}$で最小値$\text{エオ}$をとる．

(2)　太郎さんと花子さんは，(1)を振り返って$2$次関数の最大値，最小値について話している．

(ⅰ)　$2$次関数$y=f(x)$は次の条件１を満たすとする．

　このとき，$y=f(x)$のグラフの頂点の座標は$\text{カ}$であり

$f(x)=\text{キク}{x}^2$$-\text{ケ}x+\text{コ}$

である．

　$\text{カ}$の解答群

(ⅱ)　$2$次関数$y=g(x)$は次の条件２を満たすとする．

　このとき，$2$次関数$y=g(x)$のグラフは$\text{サ}$の放物線であり

$g(x)=\text{シ}$

である．

　$\text{サ}$の解答群

　$\text{シ}$の解答群

(3)　$2$次関数$y=h(x)$は次の条件３を満たすとする．

　太郎さんと花子さんは$h(x)$について話している．

　$2$次関数$y=h(x)$のグラフと$x$軸の共有点の$x$座標は$\text{ス}$および$\text{セ}$である．ただし，$\text{ス}\text{，}$$\text{セ}$の解答の順序は問わない．

【２】

〔２〕　以下の問題を解答するにあたっては，与えられたデータに対して，次の値を外れ値とする．

　水泳部に所属する太郎さんは，$1500\mathrm{m}$自由形におけるペース配分を考えるために，$2021$年に開催された東京オリンピックの男子$1500\mathrm{m}$自由形に関するデータを分析することにした．なお，自由形とは，どのような泳ぎ方で泳いでもよい競技のことである．

　分析で用いるデータは，$28$人の選手における，予選で計測された記録（以下，タイム）とする．ここでは，タイムは秒単位で表すものとする．例えば，$15$分$23$秒$46$であれば，$60\times 15$$+23.46$$=923.46$(秒)である．そして，公式順位（以下，順位）は，タイムの値が小さい方が上位となる．また，$28$人の選手それぞれのタイムについて，スタートから$750\mathrm{m}$までのタイムを$T_{\text{前}}$とし，$750\mathrm{m}$からゴールまでのタイムを$T_{\text{後}}$とする．さらに，$T_{\text{前}}$と$T_{\text{後}}$の平均値を$T_{\text{前後}}$とする．

　なお，以下の図や表については，World Aquatics のWebページをもとに作成している．

(1)　太郎さんは，$T_{\text{前}}\text{，}$$T_{\text{後}}\text{，}$$T_{\text{前後}}$の関係を調べることにした．図１は$T_{\text{前}}$と$T_{\text{後}}$の散布図，図２は$T_{\text{前}}$と$T_{\text{前後}}$の散布図である．なお，これらの散布図には，完全に重なっている点はない．また，図１と図２において，$\mathrm{A}$を付している点は，同じ選手であることを表している．

　次の(a)，(b)は，図１と図２に関する記述である．

(a)　$T_{\text{前}}$が$470$秒未満である選手について，$T_{\text{後}}$が$460$秒以上である選手の人数と，$T_{\text{前後}}$が$460$秒以上である選手の人数は等しい．

(b)　$\mathrm{A}$を付している点が表す選手について，$T_{\text{前}}$の値は$T_{\text{前後}}$の値より小さく，かつ$T_{\text{後}}$の値は$T_{\text{前後}}$の値より大きい．

　(a)，(b)の正誤の組合せとして正しいものは$\text{ソ}$である．

　$\text{ソ}$の解答群

(2)　太郎さんは，$T_{\text{前}}$と$T_{\text{前後}}$の相関係数を計算するために，表１のように，平均値，標準偏差および共分散を求めた．

　表１を用いると，$T_{\text{前}}$と$T_{\text{前後}}$の相関係数は$\text{タ}$である．

　$\text{タ}$については，最も適当なものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{9}}$のうちから一つ選べ．

(3)　太郎さんは，順位とペース配分の関係を調べるために，前半と後半という二分割だけではなく，より細かく分割されたタイムを用いて分析することにした．$1500\mathrm{m}$自由形のタイムは，スタートから$50\mathrm{m}$までのタイム，$50\mathrm{m}$から$100\mathrm{m}$までのタイムのように，ゴールまで$50\mathrm{m}$ごとの$30$個に分けて計測されている．そこで，これら$30$個のタイムを用いて分析する．

(ⅰ)　$1$位の選手の$30$個のタイムについて考えると，外れ値かどうかを判断する二つの値である$29.315$と$29.835$が算出され，$29.315$以下の$2$個のタイムと$29.835$以上の$1$個のタイムが外れ値と判断された．このとき，$1$位の選手の$30$個のタイムの四分位範囲は$0.\text{チツ}$秒である．

(ⅱ)　太郎さんは$28$人の選手それぞれについて，$30$個のタイムを用いて，選手ごとの箱ひげ図を作成し，分散を計算した．図３は上から分散が小さい順になるように，$28$人の選手それぞれの箱ひげ図を並べたものであり，$30$個のタイムにおける外れ値は，白丸で示されている．なお，分散が等しい選手はいなかった．

　次の(a)，(b)は，図３に関する記述である．

　(a)，(b)の正誤の組合せとして正しいものは$\text{テ}$である．

　$\text{テ}$の解答群

(ⅲ)　順位が$1$位から$8$位までの選手のグループを決勝進出グループ，$9$位から$28$位までの選手のグループを予選敗退グループと呼ぶことにする．決勝進出グループであり，かつ$30$個のタイムの分散が小さい方から$14$番目までの選手の人数を$n$(人)とすると，表２のようになる．

　このとき，図３から$n=\text{ト}$であることがわかる．このことから，決勝進出グループにおいて分散が小さい方から$14$番目までの選手が占める割合を$P\text{，}$予選敗退グループにおいて分散が小さい方から$14$番目までの選手が占める割合を$Q$とすると，$P\text{ナ}Q$であることがわかる．

　$\text{ナ}$の解答群

【３】　空間内に，$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$$=10\text{，}$$\mathrm{BC}=12$である二等辺三角形$\mathrm{ABC}$がある．$\mathrm{▵ABC}$の内心を$\mathrm{I}$とし，$\mathrm{▵IBC}$の重心を$\mathrm{G}$とする．$\mathrm{G}$を通り，$\mathrm{▵ABC}$を含む平面と垂直な直線上に，$\mathrm{G}$と異なる点$\mathrm{P}$がある．このとき，$\mathrm{▵ABC}$を底面とする三角$\stackrel{\text{すい}}{\text{錐}}$$\mathrm{PABC}$について考えよう．

　直線$\mathrm{AI}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とし，また，辺$\mathrm{PA}$上の点$\mathrm{E}$は，$\mathrm{\angle PED}=\mathrm{\angle PID}$を満たしているとする．なお，以下の問題において比を解答する場合は，最も簡単な整数の比で答えよ．

(1)　直線$\mathrm{BI}$が$\text{ア}$ことに注意すると，$\mathrm{▵ABD}$において線分$\mathrm{AI}$と$\mathrm{ID}$の長さの比を求めることができる．よって，線分$\mathrm{AD}$の長さに着目すると

$\mathrm{AI}=\text{イ}\text{，}$$\mathrm{ID}=\text{ウ}$

であることがわかる．また，$4$点$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{I}\text{，}$$\mathrm{D}\text{，}$$\text{エ}$は同一円周上にある．よって

$\mathrm{AE}\cdot \mathrm{AP}=\text{オカ}$

であることがわかる．

　$\text{ア}$の解答群

　$\text{エ}$の解答群

(2)　線分$\mathrm{PI}$と$\mathrm{DE}$の交点を$\mathrm{F}$とする．このとき，線分$\mathrm{IF}$と$\mathrm{FP}$の長さの比と，三角錐$\mathrm{PABC}$の体積との関係について考えよう．

(ⅰ)　次の仮定１のもとで三角錐$\mathrm{PABC}$の体積$V_1$について考える．

　このとき

$\mathrm{PE}:\mathrm{EA}=\text{キ}:\text{ク}$

であるから，(1)での考察に注意すると，$\mathrm{AP}=\text{ケ}\sqrt{\text{コ}}$となる．

　したがって，直線$\mathrm{PG}$が$\mathrm{▵ABC}$を含む平面に垂直であることに注意すると，$V_1=\text{サシ}$であることがわかる．

(ⅱ)　(ⅰ)の仮定１の代わりに次の仮定２をおき，三角錐$\mathrm{PABC}$の体積の変化について考える．

　仮定２のもとでの三角錐$\mathrm{PABC}$の体積$V_2$を，(ⅰ)で求めた$V_1$と比較すると，$V_2$と$V_1$の比は

$V_2:V_1=\text{ス}:\text{セ}$

であるから，$\text{ソ}\text{．}$

　$\text{ソ}$の解答群

【４】　$1$人対$1$人で対戦する競技の大会があり，$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$の$3$人，または$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$の$4$人で開催される．大会はリーグ戦形式で行われる．すなわち，それぞれの人が他のすべての人と$1$回ずつ対戦する．引き分けはないものとし，$\mathrm{A}$が対戦相手に勝つ確率は${\displaystyle \frac{2}{3}}$であり，$\mathrm{A}$以外の$2$人が対戦するとき勝つ確率はどちらも${\displaystyle \frac{1}{2}}$であるものとする．なお，各対戦の結果は互いに影響を与えないものとする．

　すべての対戦が終わった後，次の優勝者の決め方により優勝者を$1$人決める．

　$\mathrm{A}$が優勝する確率を，$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$の$3$人でリーグ戦を行うときと，$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$の$4$人でリーグ戦を行うときとで比較しよう．

　以下では，すべての対戦の勝敗を対戦結果と呼ぶ．なお，対戦結果は抽選の結果を含まない．対戦結果を示すために表を用いる．例えば，表１は$4$人でリーグ戦を行ったときの対戦結果の一つを示す．$\mathrm{A}$から始まる行の$⨯○○$は，$\mathrm{A}$が$\mathrm{B}$に負け$\mathrm{C}$と$\mathrm{D}$に勝ち，$2$勝$1$敗となったことを示す．また，勝ち数が一番多い$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$2$人が抽選の対象であり，そのことを✓で示す．

(1)　$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$の$3$人でリーグ戦を行うときに$\mathrm{A}$が優勝する確率を考える．

(ⅰ)　$\mathrm{A}$が$2$勝$0$敗ならば，$\mathrm{A}$が優勝する．$\mathrm{A}$が$2$勝$0$敗で優勝する確率は${\displaystyle \frac{\text{ア}}{\text{イ}}}$である．

(ⅱ)　$\mathrm{A}$が$1$勝$1$敗で優勝するためには，$\mathrm{B}$も$\mathrm{C}$も$1$勝$1$敗であることが必要である．例えば，$\mathrm{A}$が勝つ相手が$\mathrm{B}$であるとき，$\mathrm{A}$が$\mathrm{C}$に負け$\mathrm{B}$が$\mathrm{C}$に勝つことが必要である．表２は，この対戦結果を示し，この対戦結果になる確率は${\displaystyle \frac{\text{ウ}}{\text{エ}}}$である．この対戦結果になり，かつ$\mathrm{A}$が抽選により優勝者に選ばれる確率は${\displaystyle \frac{\text{ウ}}{\text{エ}}}\times {\displaystyle \frac{\text{オ}}{\text{カ}}}$である．

　$\mathrm{A}$が勝つ相手は$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$の$2$通りあることに注意すると，$\mathrm{A}$が$1$勝$1$敗で優勝する確率は${\displaystyle \frac{\text{キ}}{\text{クケ}}}$であることがわかる．

　(ⅰ)と(ⅱ)から，$\mathrm{A}$が優勝する確率は${\displaystyle \frac{\text{ア}}{\text{イ}}}+{\displaystyle \frac{\text{キ}}{\text{クケ}}}$である．

(2)　$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$の$4$人でリーグ戦を行うときに$\mathrm{A}$が優勝する確率を考える．

　$\mathrm{A}$が$3$勝$0$敗ならば，$\mathrm{A}$が優勝する．また，$\mathrm{A}$が$1$勝$2$敗ならば，$2$勝以上する人がいるため$\mathrm{A}$は優勝しない．

　$\mathrm{A}$が$2$勝$1$敗で優勝する確率を，全敗する人がいる場合の確率と全敗する人がいない場合の確率の和として求める．

(ⅰ)　全敗する人がいる場合で，かつ$\mathrm{A}$が$2$勝$1$敗で優勝する確率を求める．

　全敗する人は$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$の$3$通りある．例えば，$\mathrm{D}$が全敗するとき，対戦結果の一部を示すと表３のようになる．

　$\mathrm{D}$が全敗する確率は${\displaystyle \frac{\text{コ}}{\text{サ}}}$である．$\mathrm{D}$が全敗する場合，$\mathrm{A}$が$2$勝$1$敗で優勝するためには，$\mathrm{A}$が$\mathrm{D}$以外の$2$人との対戦で$1$勝$1$敗となることが必要である．

　以上のことから，(1)の(ⅱ)の結果を用い，全敗する人が$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$の$3$通りあることに注意すると，全敗する人がいる場合で，かつ$\mathrm{A}$が$2$勝$1$敗で優勝する確率は${\displaystyle \frac{\text{シ}}{\text{スセ}}}$であることがわかる．

(ⅱ)　全敗する人がいない場合で，かつ$\mathrm{A}$が$2$勝$1$敗で優勝する確率を求める．

　$\mathrm{A}$が$2$勝$1$敗のとき，$\mathrm{A}$が負ける相手は$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$の$3$通りある．例えば，$\mathrm{A}$が負ける相手が$\mathrm{B}$であるとき，対戦結果の一部を示すと表４のようになる．

　このとき，$\mathrm{A}$が優勝するためには，$\mathrm{B}$は$2$勝$1$敗か$1$勝$2$敗であることが必要である．例えば，表１は，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が$2$勝$1$敗である対戦結果の一つを示し，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$2$人が抽選の対象となったことを示す．

　全敗する人がいない場合で，かつ$\mathrm{A}$が$\mathrm{B}$に負け$\mathrm{C}$と$\mathrm{D}$に勝ち優勝するときの対戦結果は$\text{ソ}$通りある．$\mathrm{A}$が負ける相手が$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$の$3$通りあることに注意すると，全敗する人がいない場合で，かつ$\mathrm{A}$が$2$勝$1$敗で優勝する確率は${\displaystyle \frac{\text{タ}}{\text{チ}}}$であることがわかる．

　(ⅰ)と(ⅱ)から，$\mathrm{A}$が$2$勝$1$敗で優勝する確率は${\displaystyle \frac{\text{シ}}{\text{スセ}}}+{\displaystyle \frac{\text{タ}}{\text{チ}}}$である．

　以上のことから，$\mathrm{A}$が$3$勝$0$敗で優勝する確率を考慮すると，$\mathrm{A}$が優勝する確率は${\displaystyle \frac{\text{ツ}}{\text{テ}}}$であることがわかる．この確率は(1)で求めた$3$人でリーグ戦を行うときに$\mathrm{A}$が優勝する確率より${\displaystyle \frac{\text{ト}}{\text{ナニ}}}$だけ$\text{ヌ}\text{．}$

　$\text{ヌ}$の解答群

【１】

〔１〕　定数$a$を$a\ne 1$とするとき，$x$についての連立不等式

$\{\begin{array}{ll}x-\sqrt{6}a+1\geqq 0& \cdots \text{①}\\ (a-1)x-2a^2-a+3\leqq 0& \cdots \text{②}\end{array}$

の解について考える．なお，$\sqrt{6}=2.449\cdots$である．

(1)　$a=2$のとき，連立不等式の解は

$\text{ア}\sqrt{6}-\text{イ}\leqq x\leqq \text{ウ}$

である．

(2)　不等式$\text{①}$の解は$x\geqq \text{エ}$である．

　一方，不等式$\text{②}$は

$(a-1)\{x-(\text{オ})\}\leqq 0$

と変形できる．$a-1$が正の場合と負の場合に分けて，連立不等式の解を求める．

　$\text{エ}\text{〜}$$\text{カ}\text{，}$$\text{ケ}$の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい．）

(3)　$a$を整数とするとき，連立不等式を満たす$x$で，$x$が整数となるものが一つだけであるような$a$の値を求める．

　(2)から，$a-1<0$のときは，連立不等式を満たす整数が二つ以上あることがわかる．したがって，$a-1>0$のときだけを考えればよい．

　$a$が整数のときは$\text{カ}$も整数になる．このことに注意して$a$の値をすべて求めると，$a=\text{コ}$である．

　このとき，連立不等式を満たすただ一つの整数は，求めた$a$の値を$\text{カ}$に代入したものである．

　$\text{コ}$の解答群

【２】

〔１〕　$\mathrm{▵ABC}$において，$\mathrm{BC}=3\sqrt{5}\text{，}$$\mathrm{CA}=5\text{，}$$\cos \mathrm{\angle ABC}={\displaystyle \frac{2\sqrt{5}}{5}}$とし，$\mathrm{\angle BCA}$は鋭角であるとする．点$\mathrm{B}$を端点とする半直線$\mathrm{BA}$上に$2$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$を，それぞれ$\mathrm{BP}=10\text{，}$$\mathrm{\angle BCQ}=120\mathrm{°}$となるようにとる．辺$\mathrm{BC}$を共通とする$\mathrm{▵ABC}\text{，}$$\mathrm{▵PBC}\text{，}$$\mathrm{▵QBC}$の外接円の半径を，それぞれ$R_1\text{，}$$R_2\text{，}$$R_3$とする．$R_1\text{，}$$R_2\text{，}$$R_3$の大小関係について考察しよう．

　余弦定理により

$\mathrm{CP}=\text{ア}\text{，}$$\cos \mathrm{\angle BCP}=-{\displaystyle \frac{\sqrt{\text{イ}}}{\text{ウ}}}$

となる．よって$\mathrm{\angle BCP}\text{エ}\mathrm{\angle BCQ}$であることがわかる．したがって

$\mathrm{CP}\text{オ}\mathrm{CQ}\text{，}$$\mathrm{CP}\text{カ}\mathrm{CA}\text{，}$$\mathrm{CQ}\text{キ}\mathrm{CA}$

となる．このことから，${\mathrm{R}}_1\text{，}$$R_2\text{，}$$R_3$の大小関係は$\text{ク}$であることがわかる．

　$\text{エ}\text{〜}$$\text{キ}$の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい．）

　$\text{ク}$の解答群

【３】

〔１〕　$2$次関数のグラフについて考えよう．

(1)　$2$次関数$y=3x^2$のグラフを$C$とする．$C$を平行移動したグラフが$x$軸と異なる$2$点で交わる場合を考える．この二つの交点を結ぶ線分の長さや，平行移動したグラフの頂点と$x$軸との距離について考えよう．

(ⅰ)　$C$を$y$軸方向に$-3$だけ平行移動したグラフを$C_1$とし，$C_1$と$x$軸との二つの交点を${\mathrm{A}}_1\text{，}$${\mathrm{B}}_1$とする．線分${\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1$の長さを$W_1$とおき，$C_1$の頂点と$x$軸との距離を$H_1$とおくと，$W_1=\text{ア}$であり，$H_1=\text{イ}$である．

　また，$C_1$を$x$軸方向に$2$だけ平行移動したグラフを$C_2$とし，$C_2$と$x$軸との二つの交点を${\mathrm{A}}_2\text{，}$${\mathrm{B}}_2$とする．線分${\mathrm{A}}_2{\mathrm{B}}_2$の長さを$W_2$とおき，$C_2$の頂点と$x$軸との距離を$H_2$とおく．このとき，$W_2$と$W_1\text{，}$$H_2$と$H_1$のそれぞれの大小関係は

$W_2\text{ウ}{W}_1\text{，}$$H_2\text{エ}{H}_1$

である．

　$\text{ウ}\text{，}$$\text{エ}$の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい．）

(ⅱ)　$k$を負の定数とする．$C$を$x$軸方向に$2\text{，}$$y$軸方向に$k$だけ平行移動したグラフを$C_3$とし，$C_3$と$x$軸との二つの交点を${\mathrm{A}}_3\text{，}$${\mathrm{B}}_3$とする．ただし，二つの交点のうち，$x$座標の大きい方を${\mathrm{B}}_3$とする．線分${\mathrm{A}}_3{\mathrm{B}}_3$の長さを$W_3$とおき，$C_3$の頂点と$x$軸との距離を$H_3$とおく．このとき，$W_3$が$\text{ア}$の$4$倍となる場合を考える．

　$C_3$の軸は直線$x=\text{オ}$であり，${\mathrm{A}}_3$と${\mathrm{B}}_3$は$C_3$の軸に関して対称であることに注意すると，${\mathrm{B}}_3$の座標は$(\text{カ},0)$であることがわかる．さらに，${\mathrm{B}}_3$は$C_3$上にあるから，$k=-\text{キク}$であることがわかる．これにより，${\mathrm{H}}_3$を求めることができる．

(2)　$a$を正の定数，$p\text{，}$$q$を定数とする．$2$次関数

$y=a{(x-p)}^2+q$$\cdots \text{①}$

を考える．$\text{①}$のグラフは$2$次関数$y=a{x}^2$のグラフを平行移動したグラフである．$\text{①}$のグラフが$x$軸と異なる$2$点で交わるとし，その二つの交点を$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$とする．ただし，二つの交点のうち，$x$座標の大きい方を$\mathrm{B}$とする．線分$\mathrm{AB}$の長さを$W$とおき，$\text{①}$のグラフの頂点と$x$軸との距離を$H$とおく．$W$と$H$の関係を考えよう．

　$q$を$H$を用いて表すと，$q=\text{ケ}$であり，$\mathrm{B}$の座標を$p$と$W$を用いて表すと，$(\text{コ},0)$である．これらのことから，$H$を$a$と$W$を用いて表すと，

$H=\text{サ}$$\cdots \text{②}$

となる．

　$\text{ケ}$の解答群

　$\text{コ}$の解答群

　$\text{サ}$の解答群

(3)　$t$を定数とする．$2$次関数

$y=2x^2$$-4tx$$+2t^2$$-3t+1$$\cdots \text{③}$

を考える．$\text{③}$のグラフが$x$軸と異なる$2$点で交わるとし，その二つの交点を$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$とする．線分$\mathrm{AB}$の長さを$W$とおき，$\text{③}$のグラフの頂点と$x$軸との距離を$H$とおく．このとき，$2<W<4$を満たすような定数$t$の値の範囲を求めよう．

　$\text{②}$を利用すると，$2<W<4$のときの$H$のとり得る値の範囲は

$\text{シ}<H<\text{ス}$

であることがわかる．よって，$t$のとり得る値の範囲は

$\text{セ}<t<\text{ソ}$

である．

【４】

〔２〕　変量$x\text{，}$$y$の値の組のデータ

$(x_1,y_1)\text{，}$$(x_2,y_2)\text{，}$$\cdots \text{，}$$(x_{20},y_{20})$

をデータ$W$と呼ぶことにする．$x\text{，}$$y$の平均値をそれぞれ$\bar{x}\text{，}$$\bar{y}$とし，分散をそれぞれ${s_x}^2\text{，}$${s_y}^2$とする．また，$x$と$y$の共分散と相関係数をそれぞれ$s_{xy}\text{，}$$r_{xy}$とする．さらに，データ$W$の$x$と$y$との積で得られるデータの値

$x_1\times y_1\text{，}$$x_2\times y_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$x_{20}\times y_{20}$

をそれぞれ，変量$u$を用いて

$u_1\text{，}$$u_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$u_{20}$

とおき，$u$の平均値を$\bar{u}$とする．以下では，$\bar{x}=\bar{y}=0\text{，}$${s_x}^2={s_y}^2=1\text{，}$$r_{xy}>0$の場合を考える．

(1)　$s_{xy}=\text{ク}$であり，このことから，$r_{xy}=\text{ク}$であることがわかる．

　$\text{ク}$の解答群

(2)　データ$W$の$x$と$y$との和を$2$で割った数で得られるデータの値

${\displaystyle \frac{x_1+y_1}{2}}\text{，}$${\displaystyle \frac{x_2+y_2}{2}}\text{，}$$\cdots \text{，}$${\displaystyle \frac{x_{20}+y_{20}}{2}}$

をそれぞれ，変量$z$を用いて

$z_1\text{，}$$z_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$z_{20}$

とおく．$z$の平均値と分散をそれぞれ$\bar{z}\text{，}$${s_z}^2$とすると，$\bar{z}=0$であるため，${s_z}^2={\displaystyle \frac{\text{ケ}+\bar{u}}{\text{コ}}}$である．このことから，$x$と$z$の相関係数を$r_{xz}$とすると，$r_{xz}=\sqrt{{\displaystyle \frac{\text{ケ}+\bar{u}}{\text{コ}}}}$となり，(1)から，$r_{xz}\geqq r_{xy}$であることがわかる．