2025　海上保安大学校　記述式問題MathJax

【１】　以下の設問に答えよ．

(1)　$\mathrm{coast}$という$5$文字の単語のうち$3$文字を使ってできる文字列の総数を求めよ．

【１】　以下の設問に答えよ．

(2)　赤玉が$4$個，白玉が$3$個入った袋がある．この袋から$3$個の玉を無作為に取り出したとき，赤玉が$2$個，白玉が$1$個となる確率を求めよ．

【１】　以下の設問に答えよ．

(3)　${\log }_{4}8$の値を求めよ．

【１】　以下の設問に答えよ．

(4)　関数$y={\log }_{2}x$のグラフの概形を描け．ただし，グラフが$x$軸又は$y$軸と交わるときはその座標を，さらにそれ以外の少なくとも一つのグラフ上の点の座標を図に書き込め．

【１】　以下の設問に答えよ．

(5)　整式$x^{101}$を$x^2-1$で割ったときの余りを求めよ．

【１】　以下の設問に答えよ．

(6)　直線$l\text{：}y=9x+b$が曲線$y=x^3-3x^2$と接するような定数$b$の値を求めよ．

【１】　以下の設問に答えよ．

(7)　$\cos x+\sin x={\displaystyle \frac{1}{2}}$が成り立つとき，$\tan x$の値を求めよ．

【２】　二つの放物線$C_1\text{：}y=x^2$と$C_2\text{：}y=2{(x-a)}^2+b$について以下の設問に答えよ．ただし，$a\text{，}$$b$は実数の定数とする．

(1)　二つの放物線がただ一つの共有点をもつための必要十分条件を$a\text{，}$$b$を用いて表せ．さらに，このときの共有点$\mathrm{P}$の座標を$a$を用いて表せ．

(2)　(1)の条件が成り立つとき，点$\mathrm{P}$における二つの放物線の接線の方程式を，それぞれ$a$を用いて表せ．

(3)　(1)の条件が成り立つとする．さらに，$a>0$とする．このとき，二つの放物線及び$y$軸で囲まれた図形の$x\leqq a$の部分の面積を$S\text{，}$$x\geqq a$の部分の面積を$T$とする．比$S:T$を求めよ．

【３】　一辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$において，$\mathrm{▵ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}$$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおく．以下の設問に答えよ．

(1)　内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$の値を求めよ．

(2)　線分$\mathrm{CG}$の長さを求めよ．

(3)　直線$\mathrm{OG}$と平面$\mathrm{ABC}$が直交することを示せ．

(4)　線分$\mathrm{OG}$上に$\mathrm{OH}=\mathrm{CH}$となるような点$\mathrm{H}$をとる．このとき，線分$\mathrm{OH}$の長さを求めよ．