2025　防衛大学校　一般MathJax

【１】　次の問に答えよ．

(1)　関数$f(x)=\log (\log x)$の$x=e^3$における微分係数$f^{\prime }(e^3)$の値は次のどれか．

$\text{ⓐ}{\displaystyle \frac{6}{e^3}}$$\text{ⓑ}-{\displaystyle \frac{6}{e^3}}$$\text{ⓒ}{\displaystyle \frac{1}{3e^3}}$$\text{ⓓ}-{\displaystyle \frac{1}{3e^3}}$$\text{ⓔ}{\displaystyle \frac{1}{3}}$$\text{ⓕ}-{\displaystyle \frac{1}{3}}$$\text{ⓖ}3$$\text{ⓗ 以上のどれでもない．}$

【１】　次の問に答えよ．

(2)　$x$は$1$以上の実数とする．ベクトル$\overrightarrow{a}=(2,-1)\text{，}$$\overrightarrow{b}=(x,2x-5)$のなす角が$60\mathrm{°}$になるような$x$の値は次のどれか．

$\text{ⓐ}\sqrt{3}$$\text{ⓑ}2$$\text{ⓒ}1+\sqrt{3}$$\text{ⓓ}2\sqrt{3}$$\text{ⓔ}2+\sqrt{3}$$\text{ⓕ}1+2\sqrt{3}$$\text{ⓖ}2+2\sqrt{3}$$\text{ⓗ 以上のどれでもない．}$

【１】　次の問に答えよ．

(3)　定積分${\displaystyle {\int }_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}}}{\displaystyle \frac{\cos x}{{\sin }^{2}x}}\mathit{dx}$の値は次のどれか．

$\text{ⓐ}\sqrt{2}-1$$\text{ⓑ}2-\sqrt{2}$$\text{ⓒ}1$$\text{ⓓ}\sqrt{2}$$\text{ⓔ}2$$\text{ⓕ}1+\sqrt{2}$$\text{ⓖ}3$$\text{ⓗ 以上のどれでもない．}$

【１】　次の問に答えよ．

(4)　$2^x=3^y=5^z=\sqrt[5]{30}$のとき，${\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{y}}+{\displaystyle \frac{1}{z}}$の値は次のどれか．

$\text{ⓐ}0$$\text{ⓑ}{\displaystyle \frac{1}{2}}$$\text{ⓒ}{\displaystyle \frac{1}{3}}$$\text{ⓓ}{\displaystyle \frac{1}{5}}$$\text{ⓔ}2$$\text{ⓕ}3$$\text{ⓖ}5$$\text{ⓗ 以上のどれでもない．}$

【１】　次の問に答えよ．

(5)　複素数$z={\displaystyle \frac{2}{1-i}}$について，$z^n$が実数となる最小の自然数を$n$とする．このとき，$z^n$の値は次のどれか．

$\text{ⓐ}\sqrt{2}$$\text{ⓑ}-\sqrt{2}$$\text{ⓒ}4$$\text{ⓓ}-4$$\text{ⓔ}4\sqrt{2}$$\text{ⓕ}-4\sqrt{2}$$\text{ⓖ}8$$\text{ⓗ 以上のどれでもない．}$

【１】　次の問に答えよ．

(6)　極限$\underset{x\to \infty }{\lim }(2x-\sqrt{4x^2-3x+5})$は次のどれか．

$\text{ⓐ}{\displaystyle \frac{2}{3}}$$\text{ⓑ}{\displaystyle \frac{3}{4}}$$\text{ⓒ}1$$\text{ⓓ}{\displaystyle \frac{5}{4}}$$\text{ⓔ}{\displaystyle \frac{4}{3}}$$\text{ⓕ}{\displaystyle \frac{3}{2}}$$\text{ⓖ}\infty$$\text{ⓗ 以上のどれでもない．}$

【１】　次の問に答えよ．

(7)　$p$は正の定数とする．放物線$y=x^2+2px-2p^2+p+5$の頂点が直線$y=x$上にあるとき，$p$の値は次のどれか．

$\text{ⓐ}{\displaystyle \frac{4}{3}}$$\text{ⓑ}{\displaystyle \frac{3}{2}}$$\text{ⓒ}{\displaystyle \frac{5}{3}}$$\text{ⓓ}{\displaystyle \frac{7}{4}}$$\text{ⓔ}2$$\text{ⓕ}{\displaystyle \frac{9}{4}}$$\text{ⓖ}{\displaystyle \frac{7}{3}}$$\text{ⓗ 以上のどれでもない．}$

【１】　次の問に答えよ．

(8)　$\pi \leqq \theta \leqq 2\pi$で，$\cos \theta ={\displaystyle \frac{1}{8}}$のとき，$\cos {\displaystyle \frac{\theta }{2}}$の値は次のどれか．

$\text{ⓐ}{\displaystyle \frac{3}{8}}$$\text{ⓑ}-{\displaystyle \frac{3}{8}}$$\text{ⓒ}{\displaystyle \frac{3}{4}}$$\text{ⓓ}-{\displaystyle \frac{3}{4}}$$\text{ⓔ}{\displaystyle \frac{2}{5}}$$\text{ⓕ}-{\displaystyle \frac{2}{5}}$$\text{ⓖ}0$$\text{ⓗ 以上のどれでもない．}$

【２】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{\log x}{x}}$$\text{（}x>0\text{）}$について，次の問に答えよ．

(1)　関数$f(x)$の導関数$f^{\prime }(x)$は次のどれか．

$\text{ⓐ}{\displaystyle \frac{1}{x^2}}$$\text{ⓑ}-{\displaystyle \frac{1}{x^2}}$$\text{ⓒ}{\displaystyle \frac{1+\log x}{x}}$$\text{ⓓ}{\displaystyle \frac{1-\log x}{x}}$$\text{ⓔ}{\displaystyle \frac{1+\log x}{x^2}}$$\text{ⓕ}{\displaystyle \frac{1-\log x}{x^2}}$$\text{ⓖ}{\displaystyle \frac{x+\log x}{x^2}}$$\text{ⓗ 以上のどれでもない．}$

(2)　関数$f(x)$の第$2$次導関数$f^{″}(x)$は次のどれか．

$\text{ⓐ}-{\displaystyle \frac{2}{x^3}}$$\text{ⓑ}{\displaystyle \frac{2}{x^3}}$$\text{ⓒ}-{\displaystyle \frac{\log x}{x^2}}$$\text{ⓓ}{\displaystyle \frac{-2+\log x}{x^2}}$$\text{ⓔ}-{\displaystyle \frac{1+2x\log x}{x^3}}$$\text{ⓕ}{\displaystyle \frac{-3+2\log x}{x^3}}$$\text{ⓖ}{\displaystyle \frac{-x+1-2\log x}{x^3}}$$\text{ⓗ 以上のどれでもない．}$

(3)　曲線$y=f(x)$の変曲点の$x$座標を$a$とする．このとき，定積分${\displaystyle {\int }_1^a}f(x)\mathit{dx}$の値は次のどれか．

$\text{ⓐ}0$$\text{ⓑ}{\displaystyle \frac{3}{8}}$$\text{ⓒ}{\displaystyle \frac{3}{4}}$$\text{ⓓ}1$$\text{ⓔ}{\displaystyle \frac{9}{8}}$$\text{ⓕ}2$$\text{ⓖ}{\displaystyle \frac{9}{4}}$$\text{ⓗ 以上のどれでもない．}$

【３】　四角形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB}=3\text{，}$$\mathrm{BC}=4\text{，}$$\mathrm{AC}=5\text{，}$$\mathrm{DB}=\mathrm{DC}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{DB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{DC}}=41$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$の値は次のどれか．

$\text{ⓐ}$ 0$$$\text{ⓑ}3$$\text{ⓒ}4$$\text{ⓓ}5$$\text{ⓔ}9$$\text{ⓕ}16$$\text{ⓖ}25$$\text{ⓗ 以上のどれでもない．}$

(2)　内積$\overrightarrow{\mathrm{BC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BD}}$の値は次のどれか．

$\text{ⓐ}0$$\text{ⓑ}2$$\text{ⓒ}4$$\text{ⓓ}8$$\text{ⓔ}16$$\text{ⓕ}32$$\text{ⓖ}64$$\text{ⓗ 以上のどれでもない．}$

(3)　四角形$\mathrm{ABCD}$の面積は次のどれか．

$\text{ⓐ}3\sqrt{5}$$\text{ⓑ}3+3\sqrt{5}$$\text{ⓒ}6+3\sqrt{5}$$\text{ⓓ}3+6\sqrt{5}$$\text{ⓔ}6+6\sqrt{5}$$\text{ⓕ}9+6\sqrt{5}$$\text{ⓖ}6+9\sqrt{5}$$\text{ⓗ 以上のどれでもない．}$

【４】　$a_1=-\sqrt{2}\text{，}$$a_{n+1}=\sqrt{2}{a}_n+1$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$で定められた数列$\{a_n\}$について，次の問に答えよ．

(1)　数列$\{a_n-c\}$が等比数列となる定数$c$の値は次のどれか．

$\text{ⓐ}-1-\sqrt{2}$$\text{ⓑ}-\sqrt{2}$$\text{ⓒ}1-\sqrt{2}$$\text{ⓓ}-1+\sqrt{2}$$\text{ⓔ}1$$\text{ⓕ}\sqrt{2}$$\text{ⓖ}1+\sqrt{2}$$\text{ⓗ 以上のどれでもない．}$

(2)　$a_7$の値は次のどれか．

$\text{ⓐ}3-\sqrt{2}$$\text{ⓑ}-1+3\sqrt{2}$$\text{ⓒ}5-2\sqrt{2}$$\text{ⓓ}-2+5\sqrt{2}$$\text{ⓔ}7-\sqrt{2}$$\text{ⓕ}-1+7\sqrt{2}$$\text{ⓖ}9+\sqrt{2}$$\text{ⓗ 以上のどれでもない．}$

(3)　和${\displaystyle \sum _{k=1}^{17}}{a}_k$は次のどれか．

$\text{ⓐ}239+239\sqrt{2}$$\text{ⓑ}240+112\sqrt{2}$$\text{ⓒ}240+240\sqrt{2}$$\text{ⓓ}493+237\sqrt{2}$$\text{ⓔ}493+493\sqrt{2}$$\text{ⓕ}494+238\sqrt{2}$$\text{ⓖ}495+239\sqrt{2}$$\text{ⓗ 以上のどれでもない．}$

【１】　次の問に答えよ．

(1)　$\left|\overrightarrow{a}\right|=2\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|=1\text{，}$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=-1$のとき，$|\overrightarrow{a}-4\overrightarrow{b}|$の値は次のどれか．

$\text{ⓐ}\sqrt{2}$$\text{ⓑ}2\sqrt{3}$$\text{ⓒ}12$$\text{ⓓ}3\sqrt{2}$$\text{ⓔ}18$$\text{ⓕ}2\sqrt{7}$$\text{ⓖ}28$$\text{ⓗ 以上のどれでもない．}$

【１】　次の問に答えよ．

(2)　円$x^2+y^2+6x-4y+9=0$の半径は次のどれか．

$\text{ⓐ}1$$\text{ⓑ}\sqrt{2}$$\text{ⓒ}2$$\text{ⓓ}\sqrt{3}$$\text{ⓔ}3$$\text{ⓕ}\sqrt{5}$$\text{ⓖ}5$$\text{ⓗ 以上のどれでもない．}$

【１】　次の問に答えよ．

(3)　$x={\displaystyle \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{2}}\text{，}$$y={\displaystyle \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2}}$のとき，${\displaystyle \frac{1}{x^2}}+{\displaystyle \frac{1}{y^2}}$の値は次のどれか．

$\text{ⓐ}37$$\text{ⓑ}38$$\text{ⓒ}39$$\text{ⓓ}40$$\text{ⓔ}41$$\text{ⓕ}42$$\text{ⓖ}43$$\text{ⓗ 以上のどれでもない．}$

【１】　次の問に答えよ．

(4)　$90\mathrm{°}<\theta <180\mathrm{°}$とする．$\sin \theta ={\displaystyle \frac{4}{5}}$のとき，$\tan \theta$の値は次のどれか．

$\text{ⓐ}{\displaystyle \frac{4}{3}}$$\text{ⓑ}-{\displaystyle \frac{4}{3}}$$\text{ⓒ}{\displaystyle \frac{3}{4}}$$\text{ⓓ}-{\displaystyle \frac{3}{4}}$$\text{ⓔ}{\displaystyle \frac{\sqrt{34}}{3}}$$\text{ⓕ}-{\displaystyle \frac{\sqrt{34}}{3}}$$\text{ⓖ}-\sqrt{3}$$\text{ⓗ 以上のどれでもない．}$

【１】　次の問に答えよ．

(5)　関数$y={({\log }_{3}x)}^2+{\log }_{3}9x-4$が最小となる$x$の値は次のどれか．

$\text{ⓐ}{\displaystyle \frac{1}{3}}$$\text{ⓑ}{\displaystyle \frac{1}{6}}$$\text{ⓒ}{\displaystyle \frac{1}{9}}$$\text{ⓓ}1$$\text{ⓔ}{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}$$\text{ⓕ}{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{6}}$$\text{ⓖ}{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{9}}$$\text{ⓗ 以上のどれでもない．}$

【１】　次の問に答えよ．

(6)　点$\mathrm{A}(0,3)$から曲線$y=x^3-x^2$に引いた接線の方程式は次のどれか．

$\text{ⓐ}y=3$$\text{ⓑ}y=x-1$$\text{ⓒ}y=x+3$$\text{ⓓ}y=5x-1$$\text{ⓔ}y=5x+3$$\text{ⓕ}y=7x-1$$\text{ⓖ}y=7x+3$$\text{ⓗ 以上のどれでもない．}$

【１】　次の問に答えよ．

(7)　$2$つの放物線$y={\displaystyle \frac{1}{5}}{x}^2\text{，}$$y=x^2-5$で囲まれた図形の面積は次のどれか．

$\text{ⓐ}25$$\text{ⓑ}{\displaystyle \frac{25}{2}}$$\text{ⓒ}{\displaystyle \frac{25}{3}}$$\text{ⓓ}{\displaystyle \frac{5}{12}}$$\text{ⓔ}50$$\text{ⓕ}{\displaystyle \frac{50}{3}}$$\text{ⓖ}{\displaystyle \frac{50}{7}}$$\text{ⓗ 以上のどれでもない．}$

【１】　次の問に答えよ．

(8)　袋の中に白球，赤球合わせて$12$個の球が入っている．この袋から同時に$2$個の球を取り出すとき，$2$個とも白球である確率が${\displaystyle \frac{3}{4}}$以上となるための白球の個数の最小値は次のどれか．

$\text{ⓐ}6$$\text{ⓑ}7$$\text{ⓒ}8$$\text{ⓓ}9$$\text{ⓔ}10$$\text{ⓕ}11$$\text{ⓖ}12$$\text{ⓗ 以上のどれでもない．}$

【２】　$0<t<1$とする．$\mathrm{▵OAB}$において，辺$\mathrm{OA}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$辺$\mathrm{AB}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{Q}\text{，}$線分$\mathrm{BP}$の中点を$\mathrm{M}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，次の問に答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を表す式は次のどれか．

$\text{ⓐ}{\displaystyle \frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}{2}}$$\text{ⓑ}{\displaystyle \frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}{3}}$$\text{ⓒ}{\displaystyle \frac{\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}}{3}}$$\text{ⓓ}{\displaystyle \frac{2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}{3}}$$\text{ⓔ}{\displaystyle \frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}{4}}$$\text{ⓕ}{\displaystyle \frac{\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}}{4}}$$\text{ⓖ}{\displaystyle \frac{3\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}{4}}$$\text{ⓗ 以上のどれでもない．}$

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$を表す式は次のどれか．

$\text{ⓐ}{\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{a}+{\displaystyle \frac{t}{2}}\overrightarrow{b}$$\text{ⓑ}{\displaystyle \frac{t}{2}}\overrightarrow{a}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{b}$$\text{ⓒ}{\displaystyle \frac{1}{3}}\overrightarrow{a}+{\displaystyle \frac{t}{3}}\overrightarrow{b}$$\text{ⓓ}{\displaystyle \frac{t}{3}}\overrightarrow{a}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\overrightarrow{b}$$\text{ⓔ}{\displaystyle \frac{2}{3}}\overrightarrow{a}+{\displaystyle \frac{t}{3}}\overrightarrow{b}$$\text{ⓕ}{\displaystyle \frac{t}{3}}\overrightarrow{a}+{\displaystyle \frac{2}{3}}\overrightarrow{b}$$\text{ⓖ}{\displaystyle \frac{1}{4}}\overrightarrow{a}+{\displaystyle \frac{t}{4}}\overrightarrow{b}$$\text{ⓗ 以上のどれでもない．}$

(3)　$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{M}\text{，}$$\mathrm{Q}$が一直線上にあるとき，$t$の値は次のどれか．

$\text{ⓐ}{\displaystyle \frac{1}{5}}$$\text{ⓑ}{\displaystyle \frac{1}{4}}$$\text{ⓒ}{\displaystyle \frac{1}{3}}$$\text{ⓓ}{\displaystyle \frac{2}{5}}$$\text{ⓔ}{\displaystyle \frac{1}{2}}$$\text{ⓕ}{\displaystyle \frac{3}{5}}$$\text{ⓖ}{\displaystyle \frac{3}{4}}$$\text{ⓗ 以上のどれでもない．}$