2025　職業能力開発総合大学校　一般MathJax

【１】　次の空欄$\text{(イ)}\text{，}$$\text{(ヲ)}$に適する式を，$\text{(ロ)}\text{〜}$$\text{(ル)}\text{，}$$\text{(ワ)}$に適する数値を［解答欄］に記入しなさい．

(1)　$(1+x+x^2)(1-x)$を展開すると$\text{(イ)}$であることを利用して，${\displaystyle \frac{1}{1+\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}}}$の分母を有理化すると$\text{(ロ)}$となる．

【１】　　次の空欄$\text{(イ)}\text{，}$$\text{(ヲ)}$に適する式を，$\text{(ロ)}\text{〜}$$\text{(ル)}\text{，}$$\text{(ワ)}$に適する数値を［解答欄］に記入しなさい．

(2)　一般項$a_n$が$a_n=n^2-8n$で表される数列$\{a_n\}$の階差数列を$\{b_n\}$とすると，$b_n=\text{(ハ)}n-\text{(ニ)}$である．ただし，$b_n=a_{n+1}-a_n$を項とする数列$\{b_n\}$を，数列$\{a_n\}$の階差数列という．したがって，$a_n$は$n=\text{(ホ)}$のとき最小値$\text{(ヘ)}$をとる．

【１】　次の空欄$\text{(イ)}\text{，}$$\text{(ヲ)}$に適する式を，$\text{(ロ)}\text{〜}$$\text{(ル)}\text{，}$$\text{(ワ)}$に適する数値を［解答欄］に記入しなさい．

(3)　$i$を虚数単位とする．${\displaystyle \frac{3+5i}{4+i}}$の実部は$\text{(ト)}$であり，虚部は$\text{(チ)}$である．複素数平面において，点$\mathrm{B}(3+5i)$は，点$\mathrm{A}(4+i)$を原点$\mathrm{O}(0)$を中心として$\text{(リ)}$だけ回転し，原点$\mathrm{O}(0)$からの距離を$\text{(ヌ)}$倍した点である．ただし，$0\leqq \text{(リ)}<2\pi$である．

【１】　　次の空欄$\text{(イ)}\text{，}$$\text{(ヲ)}$に適する式を，$\text{(ロ)}\text{〜}$$\text{(ル)}\text{，}$$\text{(ワ)}$に適する数値を［解答欄］に記入しなさい．

(4)　$I={\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{1}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}}}\mathit{dx}$とおく．$x=\tan \theta$と表して$I$の値を置換積分法で求める．$\theta$が$0$から$\text{(ル)}$まで変化するとき，それに対応して$x$は$0$から$1$まで変化する．また，${\displaystyle \frac{\mathit{dx}}{\mathit{d\theta }}}$を$x$の式で表すと$\text{(ヲ)}$である．よって，$I$の値は$I=\text{(ワ)}$である．

【２】　次の空欄$\text{(イ)}\text{〜}$$\text{(ハ)}$に適する式を，$\text{(ニ)}\text{〜}$$\text{(リ)}$に適する数値を［解答欄］に記入しなさい．

(1)　$a\text{，}$$b$を実数の定数とし，$f(x)=4x^3-12ax-b$とおく．

$\text{①}$　関数$f(x)$が極値をもつための必要十分条件を$a$を用いた不等式で表すと，$\text{(イ)}$である．

$\text{②}$　方程式$f(x)=0$が異なる$3$個の実数解をもつための必要十分条件を$a\text{，}$$b$を用いた不等式で表すと，$\text{(イ)}$かつ$\text{(ロ)}<b<\text{(ハ)}$である．

【２】　次の空欄$\text{(イ)}\text{〜}$$\text{(ハ)}$に適する式を，$\text{(ニ)}\text{〜}$$\text{(リ)}$に適する数値を［解答欄］に記入しなさい．

(2)　三角形$\mathrm{OAB}$において，$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|=\sqrt{2}\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|=\sqrt{3}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=1$である．点$\mathrm{A}$を通り直線$\mathrm{OA}$に垂直な直線と，点$\mathrm{B}$を通り直線$\mathrm{OB}$に垂直な直線の交点を$\mathrm{C}$とする．

$\text{①}$　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}=\text{(ニ)}$である．また，直角三角形$\mathrm{OAC}$において，$\mathrm{\angle COA}=\alpha$とおくと，$\left|\overrightarrow{\mathrm{OC}}\right|\cos \alpha =\text{(ホ)}$であるから，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\text{(ヘ)}$である．

$\text{②}$　$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\text{(ト)}$である．

$\text{③}$　$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\text{(チ)}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\text{(リ)}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$である．

【３】　次の各問に答えなさい．ただし，解答に至るまでの途中経過も［解答欄］に記入しなさい．

(1)　次の集合

$A=\{(x,y)|x=1\text{，}$$(x,y)\text{は座標平面上の点}\}\text{，}$

$B=\{(x,y)|y=2\text{，}$$(x,y)\text{は座標平面上の点}\}\text{，}$

$C=\{(x,y)|(x-1)(y-2)=0\text{，}$$(x,y)\text{は座標平面上の点}\}$

を考える．

$\text{①}$　次の$$に適するものを，下の［選択肢］の(ア)～(エ)から$1$つ選び，記号で答えなさい．ただし，その根拠も述べること．

　$(x,y)\in A\cap B$であることは，$(x,y)\in C$であるための$\text{．}$

$\text{②}$　次の$$に適するものを，下の［選択肢］の(ア)～(エ)から$1$つ選び，記号で答えなさい．ただし，その根拠も述べること．

　$(x,y)\in A\cup B$であることは，$(x,y)\in C$であるための$\text{．}$

(ア)　必要条件であるが十分条件ではない

(イ)　十分条件であるが必要条件ではない

(ウ)　必要十分条件である

(エ)　必要条件でも十分条件でもない

【３】　次の各問に答えなさい．ただし，解答に至るまでの途中経過も［解答欄］に記入しなさい．

(2)　赤球$1$個，白球$2$個，黄球$3$個が入っている袋から球を$1$個取り出し，色を調べてからもとに戻すことを$6$回行う．

$\text{①}$　白球がちょうど$3$回出る確率を求めなさい．

$\text{②}$　白球がちょうど$3$回出たとき，他の$3$回で赤球が$1$回，黄球が$2$回出ている確率を求めなさい．

【４】　次の各問に答えなさい．ただし，解答に至るまでの途中経過も［解答欄］に記入しなさい．

(1)　$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$を正の定数とし，$c\leqq 2\pi$とする．$f(x)=a\sin (bx+c)+d$とおく．$y=f(x)$のグラフが次の図のようになったとする．

$\text{①}$　定数$a$と$d$の値をそれぞれ求めなさい．

$\text{②}$　$f(x)$の周期のうち，正で最小のものを求めなさい．

$\text{③}$　定数$b$と$c$の値をそれぞれ求めなさい．

【４】　次の各問に答えなさい．ただし，解答に至るまでの途中経過も［解答欄］に記入しなさい．

(2)　$f(x)=|x^2-2x|-x$とおく．

$\text{①}$　方程式$f(x)=0$を解きなさい．

$\text{②}$　$x$軸と$y=f(x)$のグラフで囲まれた$2$つの部分の面積の和$S$を求めなさい．