2025　国立看護大学校　入学選抜試験MathJax

【１】(1)　${\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}}$の整数部分を$a\text{，}$小数部分を$b$とする．このとき，

$a=\text{ア}\text{，}$$b^2+6b$$=\text{イ}\sqrt{\text{ウエ}}-\text{オ}$

であることを用いると，

$b^2=\text{カ}\sqrt{\text{キク}}$$-\text{ケ}\sqrt{\text{コ}}$$-\text{サ}\sqrt{\text{シ}}+\text{スセ}$

（ただし，$\text{コ}>\text{シ}$とする．）

である．

【１】(2)　$15$人の生徒を対象に$50$題の設問からなる試験（本試験）を実施した．下の表は，各生徒の正答数を整理したものである．正答数が$30$以上であった$10$人の生徒を合格，正答数が$30$より少なかった生徒番号$2\text{，}$$3\text{，}$$6\text{，}$$8\text{，}$$12$の$5$人の生徒を不合格とし，不合格者には$50$題の設問からなる再試験を実施した．本試験について，合格者の正答数の平均値は$37\text{，}$本試験を受験した$15$人全員の正答数の平均値は$32$であった．

　このとき，表中の$b$の値は$\text{ソタ}$である．

　また，不合格者の本試験における正答数の平均値は$\text{チツ}\text{，}$分散は$\text{テト}.\text{ナ}$であり，不合格者の本試験における正答数と再試験における正答数の共分散は$\text{ニヌ}.\text{ネ}$である．

【２】　$2$次関数$f(x)=a{x}^2$$+bx+c$$\text{（}a\text{，}$$b\text{，}$$c$は実数の定数）について，$y=f(x)$のグラフは$x$軸と異なる$2$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$で交わり，その頂点は$\mathrm{R}(2,a^2+a-2)$である．また，三角形$\mathrm{PQR}$の面積を$S$とする．

(1)　$b=\text{アイ}a\text{，}$$c=a^2+\text{ウ}a-\text{エ}$であり，$a$のとり得る値の範囲は

$a<\text{オカ}$または$\text{キ}<a<\text{ク}$

である．

(2)　$f(x)$が最大値$10$をもつとき，$a=\text{ケコ}$である．このとき，$S=\text{サ}\sqrt{\text{シス}}$である．

(3)　$\mathrm{PQ}=6$のとき，$a=\text{セソ}$$\pm \text{タ}\sqrt{\text{チ}}$である．

【３】　四角形$\mathrm{ABCD}$は円に内接し，$\mathrm{AB}=4\text{，}$$\mathrm{BC}=3\text{，}$$\mathrm{CD}=\mathrm{DA}=6$である．

(1)

${\mathrm{BD}}^2=\text{アイ}-\text{ウエ}\cos \mathrm{\angle BAD}$

${\mathrm{BD}}^2=\text{オカ}+\text{キク}\cos \mathrm{\angle BAD}$

であるから，$\cos \mathrm{\angle BAD}={\displaystyle \frac{\text{ケ}}{\text{コサ}}}\text{，}$$\mathrm{BD}=\text{シ}\sqrt{\text{ス}}$である．

(2)　$\mathrm{\angle ABD}$の大きさは$\mathrm{\angle CBD}$の大きさの$\text{セ}$倍であるから，対角線$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{E}$とするとき，${\displaystyle \frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}}}={\displaystyle \frac{\text{ソ}}{\text{タ}}}$であり，したがって，${\displaystyle \frac{\mathrm{BE}}{\mathrm{EC}}}={\displaystyle \frac{\text{チ}}{\text{ツ}}}$である．

【４】　$m$を$3$以上の整数とする．合同な正$m$角形の底面$2$枚と，縦と横の長さが異なる長方形の側面$m$枚からなる正$m$角柱を考える．この正$m$角柱のすべての面を異なる$n$色をすべて用いて塗る塗り方の総数を$P(m,n)$とする．ただし，辺を共有する面は異なる色で塗るものとする．また，条件を満たす塗り方ができない場合は$P(m,n)=0$とする．

(1)　$P(3,n)>0$のとき，$n=\text{ア}$または$n=\text{イ}$である．ただし，$\text{ア}<\text{イ}$とする．このとき，

$P(3,\text{ア})=\text{ウ}\text{，}$$P(3,\text{イ})=\text{エオ}$

(2)　$P(4,n)>0$のとき，$n$のとり得る値の範囲は$\text{カ}\leqq n\leqq \text{キ}$である．

$P(4,\text{カ})=\text{ク}\text{，}$$P(4,\text{カ}+2)=\text{ケコ}$

(3)　$m=6$で，$n$が最大となる場合を考える．すべての塗り方が等しい確率で起こるものとする．使われる色の中に赤と青が含まれるとき，赤で塗られた面に平行な面が青で塗られている確率は${\displaystyle \frac{\text{サ}}{\text{シ}}}$である．

【５】　四角形$\mathrm{ABCD}$は円$\mathrm{O}$に内接する．辺$\mathrm{AB}$を$\mathrm{B}$側に延長した半直線上の$\mathrm{B}$に対して$\mathrm{A}$と反対側に$\mathrm{E}$を，辺$\mathrm{AD}$を$\mathrm{D}$側に延長した半直線上の$\mathrm{D}$に対して$\mathrm{A}$と反対側に$\mathrm{F}$をとるとき，線分$\mathrm{BF}$と線分$\mathrm{DE}$は$\mathrm{C}$で交わり，四角形$\mathrm{BEFD}$は円${\mathrm{O}}^{\prime }$に内接する．$\mathrm{AB}=4\text{，}$$\mathrm{AD}=5\text{，}$$\mathrm{DF}=3$である．

(1)　$\mathrm{BE}=\text{ア}$である．

(2)　${\displaystyle \frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{CF}}}=\text{イ}$である．

(3)　$\mathrm{\angle ABC}=\text{ウエ}\mathrm{°}$である．

(4)　$\mathrm{BC}=\text{オ}\sqrt{\text{カ}}$である．また，円$\mathrm{O}$の半径は$\sqrt{\text{キ}}\text{，}$円${\mathrm{O}}^{\prime }$の半径は$\sqrt{\text{クケ}}$である．