2025　気象大学校　記述式問題MathJax

【１】　$m\text{，}$$n$を$0$以上の整数，$\alpha \text{，}$$\beta$を実数とし，

$I(m,n)={\displaystyle {\int }_{\alpha }^{\beta }}{(x-\alpha )}^m{(\beta -x)}^n\mathit{dx}$

とする．以下の設問に答えよ．

(1)　$I(k,0)\text{，}$$I(0,k)$をそれぞれ求めよ．また，$I(k,0)$と$I(0,k)$の関係式を述べよ．ただし，$k$は$0$以上の整数とする．

(2)　$I(m,1)\text{，}$$I(1,n)$をそれぞれ求めよ．また，$\beta =\alpha +1$のとき，$I(m,1)=I(1,n)$の必要十分条件は$m=g(n)$の形で表すことができる．$g(n)$を求めよ．

(3)　$I(m,n)$を求めよ．

(4)　$xy$平面において，曲線$y=-x^4$$+{\displaystyle \frac{10}{3}}{x}^3$$-4x^2$$+2x-{\displaystyle \frac{1}{3}}$と$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

【２】　$\left|z\right|<1$を満たす複素数$z$に対し，複素数からなる数列（複素数列）$\{{\mathrm{S}}_n\}$を

${\mathrm{S}}_1=1$

${\mathrm{S}}_n=1+z$$+z^2$$+\cdots$$+z^{n-1}$$\text{（}n=2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

により定義する．以下の設問に答えよ．ただし，各設問の最終的な解答における式は総和記号${\displaystyle \sum }\text{，}$極限記号$\lim \text{，}$及び省略記号$\cdots$を用いない形で示すこと．

(1)　$0<\arg z<{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$の場合について，${\mathrm{S}}_1\text{，}$${\mathrm{S}}_2\text{，}$${\mathrm{S}}_3$を表す点を複素数平面上に図示せよ．また，${\mathrm{S}}_1$と${\mathrm{S}}_2$を結ぶ線分${\mathrm{S}}_1{\mathrm{S}}_2$の長さ，${\mathrm{S}}_2$と${\mathrm{S}}_3$を結ぶ線分${\mathrm{S}}_2{\mathrm{S}}_3$の長さ，実軸と線分${\mathrm{S}}_1{\mathrm{S}}_2$のなす角度，及び線分${\mathrm{S}}_1{\mathrm{S}}_2$と線分${\mathrm{S}}_1{\mathrm{S}}_3$のなす角度をそれぞれ$z$を用いて表し，それらを図に書き加えよ．

(2)　${\mathrm{S}}_n$を$z$を用いて表せ．

(3)　複素数列$\{{\mathrm{S}}_n\}$の極限値を推測し，$\{{\mathrm{S}}_n\}$がその値に収束することを示せ．ただし，複素数列$\{a_n\}$がある複素数$\alpha$に収束するとは

$\underset{n\to \infty }{\lim }|a_n-\alpha |=0$

が成立することをいい，このときの$\alpha$を$\{a_n\}$の極限値という．

(4)　$r$を$0\leqq r<1$を満たす実数，$\theta$を$0\leqq \theta <2\pi$を満たす実数とするとき，無限級数

$1+r\cos \theta +r^2\cos 2\theta$$+r^3\cos 3\theta +\cdots$

の和を$r\text{，}$$\theta$を用いて表せ．必要であれば，複素数列$\{a_n\}$が複素数$a=\alpha +i\beta$$\text{（}\alpha \text{，}$$\beta$は実数）に収束するとき，$a_n$の実部は$\alpha$に収束し，$a_n$の虚部は$\beta$に収束することを用いてよい．

(5)　${\mathrm{S}}_0=0$として，複素数平面上の点${\mathrm{S}}_0\text{，}$${\mathrm{S}}_1\text{，}$${\mathrm{S}}_2\text{，}$$\cdots \text{，}$${\mathrm{S}}_n$を順次線分で結んで得られる折れ線の長さを$L_n$とする．$L_n$の$n\to \infty$での極限を$z$を用いて表せ．

(6)　複素数$z$を，実数$t$を用いて$z=t+(1-t)i$と表す．$t$が$0<t<1$の範囲を動くときの$\{{\mathrm{S}}_n\}$の極限値の軌跡を求め，$z$の軌跡及び原点を中心とする単位円と共に複素数平面上に図示せよ．

【３】　$xyz$空間において，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の球面を$S$とし，球面$S$に点$\mathrm{A}(1,0,0)$で接する$y$軸に平行な直線の上を動く点$\mathrm{B}(1,t,0)$を考える．ただし，$t>0$とする．点$\mathrm{B}$を通る$S$の接線のうち，$S$に$z>0$の領域で接し，かつ$z$軸と交わるものを$L$とする．また，$L$と$S$の接点を$\mathrm{C}$とし，$L$と$z$軸の交点を$\mathrm{D}$とする．以下の設問に答えよ．

(1)　点$\mathrm{C}$の座標を$t$を用いて表せ．

(2)　線分$\mathrm{BD}$の長さを$t$を用いて表せ．また，その最小値を求めよ．

(3)　点$\mathrm{C}$で球面$S$に接する平面$M$を考える．$M$と$x$軸，$y$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{F}$とする．三角形$\mathrm{DEF}$の面積を$t$を用いて表せ．また，その最小値を求めよ．