2025　気象大学校　多肢選択式問題MathJax

【１】　$a=\sqrt{4-2\sqrt{3}}\text{，}$$b=\sqrt{4+2\sqrt{3}}$であるとき，${\displaystyle \frac{b}{a}}-{\displaystyle \frac{a}{b}}$の値はいくらか．

$\text{1．}-4+2\sqrt{3}$$\text{2．}\sqrt{3}$$\text{3．}2$$\text{4．}2\sqrt{3}$$\text{5．}4+2\sqrt{3}$

【２】　実数の部分集合である$A\text{，}$$B$をそれぞれ

$A=\{m|x$の$2$次方程式$x^2-2mx-m+12=0$が相異なる二つの実数解をもつ$\}$

$B=\left\{m\right|m^2-16\leqq 0\}$

とするとき，集合$A\cap B$として正しいのはどれか．

$\text{1．}\{m|m<-4\text{，}m>3\}$$\text{2．}\{m|m\leqq -4\text{，}m\geqq 3\}$$\text{3．}\{m|m=-4\text{，}3<m\leqq 4\}$$\text{4．}\{m|3\leqq m\leqq 4\}$$\text{5．}\{m|3<m\leqq 4\}$

【３】　四角形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{\angle ABD}=45\mathrm{°}\text{，}$$\mathrm{\angle ADC}=105\mathrm{°}\text{，}$$\mathrm{\angle CBD}=30\mathrm{°}\text{，}$$\mathrm{AD}=\sqrt{2}$であるとき，$\mathrm{CD}$の長さはいくらか．

$\text{1．}1$$\text{2．}\sqrt{2}$$\text{3．}\sqrt{3}$$\text{4．}2$$\text{5．}2\sqrt{2}$

【４】　図のように各区画が正方形になるように道路が並んでいる．$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$の二人がこの道路を，$\mathrm{P}$は$\mathrm{A}$地点を出発してB地点を目指し，$\mathrm{Q}$は$\mathrm{B}$地点を出発して$\mathrm{A}$地点を目指し，それぞれ最短経路で移動する．二人は同時に出発して同じ速さで移動し，各交差点において$2$通りの進み方があるときは${\displaystyle \frac{1}{2}}$の確率でどちらかを選ぶとする．このとき，$\mathrm{C}$地点で$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$が出会う確率はいくらか．

$\text{1．}{\displaystyle \frac{1}{{14}^2}}$$\text{2．}{\displaystyle \frac{3}{{14}^2}}$$\text{3．}{\displaystyle \frac{1}{2^6}}$$\text{4．}{\displaystyle \frac{5}{2^8}}$$\text{5．}{\displaystyle \frac{3}{2^7}}$

【５】　四面体$\mathrm{ABCD}$について，$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{CD}\text{，}$$\mathrm{DA}$の中点をそれぞれ$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}\text{，}$$\mathrm{S}$とする．$\mathrm{\angle ABC}=50\mathrm{°}\text{，}$$\mathrm{\angle BPQ}=60\mathrm{°}\text{，}$$\mathrm{\angle QPS}=75\mathrm{°}$であるとき，$\mathrm{\angle PSR}$はいくらか．

$\text{1．}105\mathrm{°}$$\text{2．}110\mathrm{°}$$\text{3．}120\mathrm{°}$$\text{4．}125\mathrm{°}$$\text{5．}135\mathrm{°}$

【６】　${11}^{20}$の下$4$桁として正しいのはどれか．

$\text{1．}0001$$\text{2．}0201$$\text{3．}1201$$\text{4．}2101$$\text{5．}9201$

【７】　$xy$平面上において，点$\mathrm{A}(2,{\displaystyle \frac{9}{2}})\text{，}$点$\mathrm{B}(-1,{\displaystyle \frac{3}{2}})$と直線$l\text{：}2x-2y-1=0$がある．直線$l$上にある点$\mathrm{P}$のうち，線分$\mathrm{AP}$の長さと線分$\mathrm{BP}$の長さの和が最小となる点$\mathrm{P}$の座標として正しいのはどれか．

$\text{1．}(1,{\displaystyle \frac{1}{2}})$$\text{2．}({\displaystyle \frac{3}{2}},1)$$\text{3．}(2,{\displaystyle \frac{3}{2}})$$\text{4．}({\displaystyle \frac{5}{2}},2)$$\text{5．}(3,{\displaystyle \frac{5}{2}})$

【８】　$xy$平面上において，直線$y={\displaystyle \frac{3}{4}}x$を原点を中心に反時計回りに$45\mathrm{°}$回転した直線の方程式として正しいのはどれか．

$\text{1．}y=3x$$\text{2．}y=4x$$\text{3．}y=5x$$\text{4．}y=6x$$\text{5．}y=7x$

【９】　$3^x=4^y={12}^z$$\text{（}x\ne 0\text{）}$であるとき，$xy-yz-zx$はいくらか．

$\text{1．}-1$$\text{2．}0$$\text{3．}1$$\text{4．}2$$\text{5．}3$

【10】　$x$についての方程式$x^3-3x^2-9x-a=0$が，相異なる三つの実数解をもつような定数$a$の範囲として正しいのはどれか．

$\text{1．}a=-1\text{，}3$$\text{2．}a=0\text{，}{\displaystyle \frac{3\pm 3\sqrt{5}}{2}}$$\text{3．}-27<a<5$$\text{4．}-1<a<3$$\text{5．}{\displaystyle \frac{3-3\sqrt{5}}{2}}<a<0\text{，}{\displaystyle \frac{3+3\sqrt{5}}{2}}<a$

【11】　$xy$平面上の曲線$y=x^3-6x^2+9x$と直線$y=x$で囲まれた図形の面積はいくらか．

$\text{1．}4$$\text{2．}8$$\text{3．}10$$\text{4．}12$$\text{5．}16$

【12】　次のように定められた数列$\{a_n\}$について，$a_{101}$の値はいくらか．

$a_1=2\text{，}$${\displaystyle \frac{1}{a_{n+1}}}-{\displaystyle \frac{1}{a_n}}=n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

$\text{1．}{\displaystyle \frac{2}{10101}}$$\text{2．}{\displaystyle \frac{1}{5050}}$$\text{3．}{\displaystyle \frac{2}{9901}}$$\text{4．}5050$$\text{5．}{\displaystyle \frac{10101}{2}}$

【13】　二つのベクトル$\overrightarrow{a}=(3,2,2)\text{，}$$\overrightarrow{b}=(3,-2,0)$の両方に垂直で，大きさが$7$であるべクトルとして正しいのは次のうちではどれか．

$\text{1．}(-2\sqrt{2},-4,5)$$\text{2．}(-2,-3,6)$$\text{3．}(\sqrt{2},-\sqrt{3},-6)$$\text{4．}(2,-3,6)$$\text{5．}(4,6,-12)$