2025　防衛医科大学校　医学科MathJax

【１】　$\mathrm{AB}=6\text{，}$$\mathrm{BC}=9\sqrt{2}+3\sqrt{6}\text{，}$$\mathrm{\angle ABC}={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$である$\mathrm{▵ABC}$において，辺$\mathrm{AC}$の長さは$\text{1}$である．ここで辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{D}$があり，$\mathrm{▵ABC}$における$\mathrm{\angle BAC}$の外角は$\mathrm{\angle CAD}$と等しいものとする．このとき，$\mathrm{\angle BAD}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{E}$とすると，辺$\mathrm{AE}$の長さは$\text{2}$である．

$\text{1}$の選択肢

$\text{(1)}3+3\sqrt{3}$$\text{(2)}3+6\sqrt{3}$$\text{(3)}6+3\sqrt{3}$$\text{(4)}6+6\sqrt{3}$$\text{(5)}9+3\sqrt{3}$

$\text{2}$の選択肢

$\text{(1)}2\sqrt{2}-2$$\text{(2)}2\sqrt{2}$$\text{(3)}3\sqrt{3}$$\text{(4)}6\sqrt{3}-3$$\text{(5)}6\sqrt{3}-6$

【２】　実数$x$の$2$次関数$f(x)=x^2+2x+a$がある．ここで$a$は整数であるとする．今，ある整数$k$に対し，$f(k)=31$であり，$x$の方程式$f(x)=0$は$2$つの整数の解をもつものとする．このような$k$は$2$つ存在し，それら$2$つの値の和は$\text{3}$である．また，このときの$a$の値は$\text{4}$である．

$\text{3}$の選択肢

$\text{(1)}-3$$\text{(2)}-2$$\text{(3)}-1$$\text{(4)}1$$\text{(5)}2$

$\text{4}$の選択肢

$\text{(1)}-224$$\text{(2)}-220$$\text{(3)}-216$$\text{(4)}-212$$\text{(5)}-208$

【３】　定積分${\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{e^{-x}}{e^{-x}+1}}\mathit{dx}$の値は$\text{5}$である．また，実数$x$の関数$f(x)$が$f(x)$$=e^{-x}{\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{1}{e^{-t}+1}}\mathit{dt}$$+{\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{f(t)}{e^{-t}+1}}\mathit{dt}$を満たすとき，$f(-1)$は$\text{6}$である．ここで，$\log$は自然対数，$e$は自然対数の底である．

$\text{5}$の選択肢

$\text{(1)}\log {\displaystyle \frac{e}{e+1}}$$\text{(2)}\log {\displaystyle \frac{2e}{e+1}}$$\text{(3)}\log {\displaystyle \frac{e}{2e+1}}$$\text{(4)}\log {\displaystyle \frac{2e}{2e+1}}$$\text{(5)}\log {\displaystyle \frac{e}{e+2}}$

$\text{6}$の選択肢

$\text{(1)}(e+1)\log {\displaystyle \frac{e+1}{2e}}$$\text{(2)}(e+1)\log {\displaystyle \frac{2e+1}{2e}}$$\text{(3)}(e+1)\log {\displaystyle \frac{e+1}{e}}$$\text{(4)}(e+1)\log {\displaystyle \frac{e+1}{2}}$$\text{(5)}(e+1)\log {\displaystyle \frac{2e+1}{2}}$

【４】　複素数$z=a+bi$$\text{（}a\text{，}$$b$は実数，$z\ne 0\text{）}$について，$z+{\displaystyle \frac{2}{z}}=\alpha +\beta i$$\text{（}\alpha \text{，}$$\beta$は実数）とする．今，下記の条件(ⅰ)，(ⅱ)を考える．

(ⅰ)　$2\leqq \alpha \leqq 3$かつ$\beta =0$かつ$b\ne 0$

(ⅱ)　$2\leqq \alpha \leqq 3$かつ$\beta =0$

$z$が(ⅰ)の条件を満たすとき，$\left|z\right|$の値は$\text{7}$である．また，$z$が(ⅱ)の条件を満たすとき，複素数平面上に点$z$が描く軌跡の長さは$\text{8}$である．ここで，$i$は虚数単位である．

$\text{7}$の選択肢

$\text{(1)}1$$\text{(2)}\sqrt{2}$$\text{(3)}2$$\text{(4)}\sqrt{3}$$\text{(5)}3$

$\text{8}$の選択肢

$\text{(1)}{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3}}\pi$$\text{(2)}\sqrt{2}+{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3}}\pi$$\text{(3)}1+{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\pi$$\text{(4)}\sqrt{2}+{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\pi$$\text{(5)}1+{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3}}\pi$

【５】　$k=6^{44}$とすると$k$の桁数は$\text{9}\text{10}$である．また，$k$の上$2$桁の数は$\text{11}\text{12}$である．${\displaystyle \frac{k}{9}}$の整数部分を$k^{*}$とおくと，$k^{*}$の上$2$桁の数は$\text{13}\text{14}$である．ここで，$1$から$20$の間にある素数の常用対数は，${\log }_{10}2=0.3010\text{，}$${\log }_{10}3=0.4771\text{，}$${\log }_{10}5=0.6990\text{，}$${\log }_{10}7=0.8451\text{，}$${\log }_{10}11=1.0414\text{，}$${\log }_{10}13=1.1139\text{，}$${\log }_{10}17=1.2304\text{，}$${\log }_{10}19=1.2788$であるとする．

【６】　$a_1=\sqrt{2}\text{，}$$a_2=\sqrt{2\sqrt{3}}\text{，}$$a_3=\sqrt{2\sqrt{3\sqrt{2}}}\text{，}$$a_4=\sqrt{2\sqrt{3\sqrt{2\sqrt{3}}}}\text{，}$$\cdots$のように初項が$\sqrt{2}$で，偶数番目の項は前の項の一番内側の根号の中にある$2$に$\sqrt{3}$をかけ，第$3$項以降の奇数番目の項は前の項の一番内側の根号の中にある$3$に$\sqrt{2}$をかけて作られる数列$\{a_n\}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$がある．このとき，${\displaystyle \frac{a_7}{a_6}}$の値は$2^{\frac{\text{15}}{\text{16}\text{17}\text{18}}}$である．また，$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_{2n}$は$2^{\frac{\text{19}}{\text{20}}}{3}^{\frac{\text{21}}{\text{22}}}$である．

【７】　右のように縦横に等間隔に道路を配置した街路がある．地点$\mathrm{S}$をスタートして最短距離で地点$\mathrm{G}$に進む経路は全部で$70$通りある．それら$70$通りの経路がそれぞれ$1$つずつ書かれた$70$枚のカードがある．この$70$枚のカードからランダムに$1$枚を選び，そのカードに書かれた経路で$\mathrm{S}$から$\mathrm{G}$に移動するものとする（選んだカードは元に戻すものとする）．

［ⅰ］カードを選んで$\mathrm{S}$から$\mathrm{G}$に移動するとき，地点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{G}$に到達すると，それぞれの地点でコインを$1$枚もらえるものとする．$\mathrm{G}$に到達した後，すべてのコインを集計し，$4$枚あれば終了する．$4$枚でない場合は再びランダムにカードを選び，$\mathrm{S}$から$\mathrm{G}$へ移動してコインを合算していく．その際，$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{G}$のうち，$1$回到達した地点においては$2$回目以降に到達してもコインをもらえないものとする．この移動をコインが$4$枚集まるまで繰り返す．このとき，以下の問に答えよ．

(1)　$\mathrm{S}$から$\mathrm{G}$への移動がちょうど$1$回で終了する確率はいくらか．

(2)　$\mathrm{S}$から$\mathrm{G}$への移動がちょうど$2$回で終了し，かつどちらの移動でも$\mathrm{A}$を通る確率はいくらか．

［ⅱ］カードを選んで$\mathrm{S}$から$\mathrm{G}$に移動するとき，地点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{G}$に到達すると，それぞれの地点でコインを$1$枚もらえるものとする．$\mathrm{G}$に到達した後，すべてのコインを集計し，$4$枚以上あれば終了する．$4$枚未満の場合は再びランダムにカードを選び，$\mathrm{S}$から$\mathrm{G}$へ移動してコインを合算していく．その際，$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{G}$においては，何回到達してもその都度コインを$1$枚もらえるものとする．この移動をコインが$4$枚以上集まるまで繰り返す．このとき，以下の問に答えよ．

(3)　$\mathrm{S}$から$\mathrm{G}$への移動がちょうど$2$回で終了するという条件の下で，$\mathrm{B}$を$2$回通る条件付き確率はいくらか．