2025　福岡大学　推薦理,工,薬,医(医)学部MathJax

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　$a=\sqrt{5}+\sqrt{2}\text{，}$$b=\sqrt{5}-\sqrt{2}$のとき，$a^3+b^3$の値は$\text{(1)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　$2$個のさいころを同時に投げるとき，出る目の和が$3$で割り切れる確率は$\text{(2)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅲ)　$\mathrm{▵OAB}$に対して，辺$\mathrm{AB}$を$4:3$に内分する点を$\mathrm{P}$とし，線分$\mathrm{OP}$を$1:3$に外分する点を$\mathrm{Q}$とする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$で表すと$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\text{(3)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅳ)　不等式${\log }_2(4-x^2-y^2)<1$が成り立つとき，$x-y$の値の範囲は$\text{(4)}$である．

【２】　$a$を定数とする．曲線$C\text{：}y=\log x$と直線$l\text{：}y=2x+a$について，次の問に答えよ．ただし，対数は自然対数とする．

(ⅰ)　$C$と$l$が接するとき，定数$a$の値を求めよ．

(ⅱ)　(ⅰ)のとき，$C\text{，}$$l$および$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

【２】　曲線$C\text{：}y=(x+4)(x+2)(x-2)$について，次の問に答えよ．

(ⅰ)　曲線$C$上の点$(-2,0)$における接線の方程式を求めよ．

(ⅱ)　$x\geqq -2$の範囲で，$x$軸と$C$で囲まれた部分の面積を求めよ．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　楕円${\displaystyle \frac{x^2}{2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{8}}=1$と直線$y=-2x+2$の交点を$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$とする．このとき，線分$\mathrm{PQ}$の長さは$\text{(1)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅲ)　$\mathrm{▵OAB}$に対して，辺$\mathrm{OA}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{C}\text{，}$辺$\mathrm{OB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{D}\text{，}$辺$\mathrm{AB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{E}\text{，}$辺$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{F}$とする．線分$\mathrm{CF}$と線分$\mathrm{DE}$の交点を$\mathrm{P}\text{，}$直線$\mathrm{OP}$と辺$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．このとき，${\displaystyle \frac{\mathrm{OP}}{\mathrm{OQ}}}=\text{(3)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅳ)　不等式${\log }_2(4-x^2-y^2)$$+{\log }_{\frac{1}{2}}(x+1)<1$が成り立つとき，$x-y$の値の範囲は$\text{(4)}$である．

【２】　定数$a\text{，}$$b$が$0<b<a$を満たしているとする．関数$f(x)=\cos (a\sqrt{x-1}+b)$について，次の問に答えよ．

(ⅰ)　$\underset{x\to 1+0}{\lim }{\displaystyle \frac{f(x)}{\sqrt{x-1}}}=-\pi$が成り立つとき，定数$a\text{，}$$b$の値を求めよ．

(ⅱ)　(ⅰ)のとき，定積分${\displaystyle {\int }_1^5}f(x)\mathit{dx}$の値を求めよ．