2025　福岡大学　後期理,工学部MathJax

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　$a\text{，}$$b$を実数とする．$4$個のデータ$1\text{，}$$a\text{，}$$b\text{，}$$3$の平均値が$3$であるとき，$b$を$a$を用いて表すと$b=\text{(1)}$である．また，このデータの分散が${\displaystyle \frac{3}{2}}$のとき，$a$の値は$a=\text{(2)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　関数$y={\sin }^{2}x$$+2\sqrt{3}\sin x\cos x$$+3{\cos }^{2}x$$({\displaystyle \frac{\pi }{3}}\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$を，適当な実数$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を用いて$y=a\sin 2x$$+b\cos 2x+c$の形に表すと$(a,b,c)=\text{(3)}$である．また，この関数の最大値は$\text{(4)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅲ)　$3$桁の自然数のうち，少なくとも$1$つの位に$1$が現れる自然数は全部で$\text{(5)}$個ある．またそのような自然数の中で大きい方から数えて$120$番目の自然数は$\text{(6)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅳ)　数列$\{a_n\}$がすべての自然数$n$に対して$a_n+n^2$$-20n$$+{\displaystyle \sum _{k=1}^{10}}{a}_k=0$をみたしているとする．$c={\displaystyle \sum _{k=1}^{10}}{a}_k$とおいたとき，$c$の値は$c=\text{(7)}$である．また，$a_m{a}_{m+1}<0$をみたす自然数$m$のうちで最大のものは$m=\text{(8)}$である．

【２】　$a\text{，}$$b$を定数とする．関数$f(x)=(x^2+ax+b)e^x$について，次の問に答えよ．

(ⅰ)　$f(x)$が$x=-1\text{，}$$2$で極値をとるとき，定数$a\text{，}$$b$を求めよ．

(ⅱ)　定数$a\text{，}$$b$を(ⅰ)で求めた値とする．曲線$y=f(x)$と曲線$y=e^x$で囲まれた部分の面積を求めよ．

【２】　$a$を定数とする．曲線$C\text{：}y=x^3$$-5x^2$$+8x-1$と直線$l\text{：}y=a$について，次の問に答えよ．

(ⅰ)　$C$と$l$の共有点の個数が$2$であるような定数$a$のうち，小さい方の値を求めよ．

(ⅱ)　定数$a$を(ⅰ)で求めた値とする．$C$と$l$の共有点のうち，$x$座標が小さい方を$\mathrm{P}$とする．$\mathrm{P}$における$C$の接線，$y$軸および$C$で囲まれた部分の面積を求めよ．