2025　福岡大学　後期文系MathJax

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　関数$y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\cos 2\theta$$-\cos \theta +{\displaystyle \frac{7}{2}}$$\text{（}0\leqq \theta <2\pi \text{）}$で$\cos \theta =t$とおいて，$y$を$t$の式で表すと$y=\text{(1)}$となる．これより，$y$の最大値$M$と最小値$m$を求めると$(M,m)=\text{(2)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を正の定数とする．$a^x=b^y$$=c^z$$=729\text{，}$${\log }_{3}abc=6$が成り立つとき，${\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{y}}+{\displaystyle \frac{1}{z}}$の値は$\text{(3)}$である．また，$a=27\text{，}$$y=6$のとき$c$と$z$の値は$(c,z)=\text{(4)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅲ)　$1$から$10$までの数字が$1$つずつ書かれた$10$枚のカードがある．この$10$枚のカードを$3$枚，$3$枚，$4$枚の$3$組に分ける方法は$\text{(5)}$通りある．また，$1$のカードと$2$のカードを同じ組に入れるとき，$10$枚のカードを$3$枚，$3$枚，$4$枚の$3$組に分ける方法は$\text{(6)}$通りある．

【２】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　$\mathrm{▵ABC}$の辺$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{F}\text{，}$辺$\mathrm{BC}$を$4:3$に内分する点を$\mathrm{D}\text{，}$線分$\mathrm{AD}$と線分$\mathrm{CF}$の交点を$\mathrm{P}\text{，}$線分$\mathrm{BP}$の延長と辺$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{E}$とする．このとき，$\mathrm{CE}:\mathrm{EA}=\text{(1)}$で，面積比$\mathrm{▵PBD}:\mathrm{▵ABC}=\text{(2)}$である．

【２】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　$4$次方程式$x^4+a{x}^3$$+b{x}^2$$-x$$+6=0$が$1$と$-1$を解にもつとき，定数$a\text{，}$$b$の値は$(a,b)=\text{(3)}$である．また，この$4$次方程式の残りの$2$つの解は$x=\text{(4)}$である．

【３】　$a\text{，}$$b$を定数とし，$f(x)=-{\displaystyle \frac{3}{4}}{x}^2$$+ax+b$とする．放物線$C\text{：}y=f(x)$上の点$(0,1)$における$C$の接線$l_1$が点$(1,2)$を通るとき，次の問に答えよ．

(ⅰ)　定数$a\text{，}$$b$の値を求めよ．また，接線$l_1$の方程式を求めよ．

(ⅱ)　$l_1$とは異なる，点$(1,2)$を通る放物線$C$の接線を$l_2$とする．このとき，放物線$C$と接線$l_1\text{，}$$l_2$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．