2025　福岡大学　前期理系2月11日実施MathJax

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　$\mathrm{▵ABC}$において，$\mathrm{AB}=3\text{，}$$\mathrm{AC}=2\text{，}$$\mathrm{\angle A}=60\mathrm{°}$とし，辺$\mathrm{BC}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{P}$する．このとき，線分$\mathrm{BP}$の長さは$\text{(1)}$であり，線分$\mathrm{AP}$の長さは$\text{(2)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　箱$\mathrm{A}$には白玉が$7$個と赤玉が$3$個，箱$\mathrm{B}$には白玉が$1$個と赤玉が$9$個が入っている．さいころを$2$つ振って，同じ目が出たら箱$\mathrm{A}$から玉を$1$つ取り出し，そうでなければ箱$\mathrm{B}$から玉を$1$つ取り出す．このとき，取り出した玉が白玉である確率は$\text{(3)}$である．また，取り出した玉が白玉であるとき，その玉が箱$\mathrm{B}$から取り出された確率は$\text{(4)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅲ)　整式$x^3+a{x}^2$$+ax+2$が$x-1$で割り切れるとき，$a$の値は$a=\text{(5)}$である．また，整式$x^3+b{x}^2$$+cx+2$が${(x-1)}^2$で割り切れるとき，$(b,c)=\text{(6)}$である．

【２】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　$a\text{，}$$b$を定数とする．放物線$y={(x+2a^2-a+2b+2)}^2$$+3a^2$$+b-1$を$x$軸方向に$a\text{，}$$y$軸方向に$b$だけ平行移動すると$x$軸に接した．このとき，$b$を$a$を用いて表すと$b=\text{(1)}$である．また，接点の$x$座標が正となるような$a$の値の範囲は$\text{(2)}$である．

【２】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　数列$\{a_n\}$を$a_1=4\text{，}$$a_{n+1}=4{a_n}^3$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$により定める．$b_n={\log }_2{a}_n$によって数列$\{b_n\}$を定めるとき，$\{b_n\}$の一般項は$b_n=\text{(3)}$である．また，$a_6$は$\text{(4)}$$\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$の数である．ただし，必要であれば$0.301$$<{\log }_{10}2$$<0.302$を用いてよい．

【３】　関数$f(x)=x-2\log (x+4)$$\text{（}-3<x<3\text{）}$について，次の問に答えよ．ただし，対数は自然対数とする．

(ⅰ)　$f(x)$の極値を求めよ．

(ⅱ)　(ⅰ)で求めた極値を与える点の$x$座標を$\alpha$とおく．このとき，曲線$y=f(x)\text{，}$直線$x=\alpha \text{，}$$x$軸および$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

【３】　関数$f(t)={\displaystyle {\int }_0^3}x|x-t|\mathit{dx}$$\text{（}0\leqq t\leqq 3\text{）}$について，次の問に答えよ．

(ⅰ)　$f(2)$を求めよ．

(ⅱ)　$f(t)$の最大値と最小値を求めよ．