2025　福岡大学　前期文系2月11日実施MathJax

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　$2$次関数$f(x)=a{x}^2$$-4ax+b$の$1\leqq x\leqq 4$における最大値が$7\text{，}$最小値が$3$である．このとき，$a>0$ならば$(a,b)=\text{(1)}$で，$a<0$ならば$(a,b)=\text{(2)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の二人がじゃんけんを$1$回するとき，$\mathrm{A}$が勝つ確率は$\text{(3)}$である．また，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$がじゃんけんをして，どちらか一方が先に$3$勝したら，勝負を終わりにするものとするとき，ちょうど$4$回目のじゃんけんで勝負がついて$\mathrm{A}$が勝つ確率は$\text{(4)}$である．ただし，あいこも$1$回と数えるものとする．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅲ)　$1$辺の長さが$2$の正四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とする．$\mathrm{\angle OMC}=\theta$とおくとき，$\cos \theta =\text{(5)}$で，これよりこの正四面体の体積$V$を求めると$V=\text{(6)}$である．

【２】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　$x>1$として，関数$y={\log }_3\left({\displaystyle \frac{x^2}{9}}\right)$$+{\log }_x\left({\displaystyle \frac{9}{\sqrt{x}}}\right)$を考える．${\log }_{3}x=t$とおいて$y$を$t$の式で表すと$y=\text{(1)}$となるから，これより$y$の最小値は$\text{(2)}$である．

【２】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　$x$の多項式$P(x)$は$x+2$で割ると$1$余り，${(x+1)}^2$で割ると$-2x-4$余る．このとき，$P(x)$を$(x+2)(x+1)$で割った余りは$\text{(3)}$で，$P(x)$を$(x+2){(x+1)}^2$で割った余りは$\text{(4)}$である．

【３】　$0<a<1$とし，$f(x)=|x^2-a^2|$$\text{（}0\leqq x\leqq 1\text{）}$とする．$y=f(x)$のグラフを$C$とするとき，次の問に答えよ．

(ⅰ)　$C$と$x$軸および$y$軸，$C$と$x$軸および直線$x=1$で囲まれた$2$つの部分の面積の和を$a$を用いて表せ．

(ⅱ)　(ⅰ)で求めた面積を$S(a)$とするとき，$S(a)$の最小値を求めよ．