2025　福岡大学　前期工学部2月6日実施MathJax

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　$\mathrm{▵ABC}$において，等式$\sin A:\sin B:\sin C$$=12:11:k$かつ$\cos C={\displaystyle \frac{9}{11}}$が成り立つとき，$k$の値は$k=\text{(1)}$である．さらに，$\mathrm{▵ABC}$の面積が$\sqrt{10}$のとき，$\mathrm{▵ABC}$の$3$辺の長さの和は$\text{(2)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　$c$を定数とする．条件$a_1=c\text{，}$$a_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{2-a_n}}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$によって定められる数列$\{a_n\}$が$a_3={\displaystyle \frac{5}{7}}$をみたすとき，$c$の値は$c=\text{(3)}$である．また，$b_n={\displaystyle \frac{1}{a_n-1}}$によって数列$\{b_n\}$を定めるとき，$\{b_n\}$の一般項は$b_n=\text{(4)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅲ)　赤玉$4$個，白玉$3$個の入った袋から玉を$1$個取り出し，色を見てからもとにもどす．この試行を$4$回続けて行うとき，赤玉が$a$回出る確率を$P(a)$とおく．このとき，$P(1)$の値は$P(1)=\text{(5)}$である．また，$P(a)$の最大値は$\text{(6)}$である．

【２】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　座標平面において，$(1,2\sqrt{2})$を法線ベクトルとし，点$(1,0)$を通る直線を$l$とする．このとき，$l$の方程式は$\text{(1)}$である．また，直線$x-y=0$と$l$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$の値は$\cos \theta =\text{(2)}$である．ただし，$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．

【２】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　$5^n$が$29$$\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$の数となるような自然数$n$は$n=\text{(3)}$である．このとき，$5^n$の最高位の数字は$\text{(4)}$である．ただし，必要ならば$0.3010<{\log }_{10}2$$<0.3011$を用いてもよい．

【３】　関数$f(t)={\displaystyle {\int }_0^2}(e^{tx}-2tx)\mathit{dx}$$\text{（}t>0\text{）}$について，次の問に答えよ．

(ⅰ)　$f(2)$の値を求めよ．

(ⅱ)　$f(t)$の極値を求めよ．