2025　福岡大学　前期文系2月6日実施MathJax

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　白球$6$個，赤球$2$個が入っている袋から球を$1$個取り出し，袋に戻さずに続けてもう$1$個取り出す．このとき，$2$回目に取り出した球が白球である確率は$\text{(1)}$である．また，$2$回目に取り出した球が赤球であるとき，$1$回目に取り出した球も赤球である条件付き確率は$\text{(2)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　$2$次方程式$x^2+2(a-1)x$$+a^2$$+2=0$が異なる$2$つの実数解$\alpha \text{，}$$\beta$をもつような定数$a$の値の範囲は$\text{(3)}$である．また，$\beta =3\alpha$となるとき，定数$a$の値は$a=\text{(4)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅲ)　$\sqrt{3}\cos x+\sin x$を$r\sin (x+\theta )$$(r>0\text{，}0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$の形に変形すると$(r,\theta )=\text{(5)}$である．これより，方程式$\sqrt{3}\cos x+\sin x=-1$$\text{（}0\leqq x\leqq \pi \text{）}$を解くと$x=\text{(6)}$である．

【２】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　$a=\sqrt{2}$とし，関数$y={({\log }_{a}x)}^2$$-{\log }_{a}x+2$$\text{（}1\leqq x\leqq 2\text{）}$を考える．$t={\log }_{a}x$とおくと$t$のとり得る値の範囲は$\text{(1)}$だから，これより$y$を$t$の式で表して$y$の最大値$M$と最小値$m$を求めると$(M,m)=\text{(2)}$である．

【２】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　$\mathrm{▵ABC}$において，$\mathrm{AB}=5\text{，}$$\mathrm{BC}=8\text{，}$$\mathrm{CA}=7$とする．$\mathrm{\angle BAC}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，$\mathrm{BD}=\text{(3)}$で，$\mathrm{AD}=\text{(4)}$である．

【３】　$f(x)=x^3+2x$とする．曲線$C\text{：}y=f(x)$について，次の問に答えよ．

(ⅰ)　曲線$C$上の点$(t,f(t))$における接線の方程式を求めよ．

(ⅱ)　点$(1,a)$を通る曲線$C$の接線が，$3$本存在するような定数$a$の値の範囲を求めよ．