2025　福岡大学　前期工学部2月5日実施MathJax

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　不等式$2x+4$$\leqq -3x-1$$<x+7$の解は$\text{(1)}$である．また，不等式$2x+4$$\leqq -3x-a$$<x+7$の解が存在するような実数$a$の値の範囲は$\text{(2)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　$\mathrm{▵ABC}$において，$\mathrm{AB}=7\text{，}$$\mathrm{BC}=9\text{，}$$\mathrm{AC}=8$とする．点$\mathrm{P}$を$\mathrm{AP}=3$となる辺$\mathrm{AB}$上の点とし，点$\mathrm{Q}$を辺$\mathrm{AC}$の中点とする．点$\mathrm{R}$を線分$\mathrm{PQ}$を$1:2$に内分する点とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{AR}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表すと$\text{(3)}$となる．また，内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AR}}$の値は$\text{(4)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅲ)　複素数$z={\displaystyle \frac{-7+\sqrt{3}i}{2\sqrt{3}+i}}$を実数$r\text{，}$$\theta$$\text{（}r>0\text{，}$$0\leqq \theta <2\pi \text{）}$を用いて$z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$の形に表すと，$(r,\theta )=\text{(5)}$である．また，複素数$z^4$を実数$x\text{，}$$y$を用いて$z^4=x+iy$の形に表すと，$(x,y)=\text{(6)}$である．ただし，$i$は虚数単位とする．

【２】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　アルファベット$10$文字$\mathrm{M}\text{，}$$\mathrm{T}\text{，}$$\mathrm{W}\text{，}$$\mathrm{T}\text{，}$$\mathrm{F}\text{，}$$\mathrm{S}\text{，}$$\mathrm{S}\text{，}$$\mathrm{M}\text{，}$$\mathrm{T}\text{，}$$\mathrm{W}$が$1$枚につき$1$文字ずつ書かれた$10$枚のカードがある．この中から同時に$3$枚のカードを取り出すとき，$3$枚とも異なる文字である確率は$\text{(1)}$である．また，取り出したカードの文字がすべて異なっていたとき，$3$枚のカードの中に$\mathrm{T}$が含まれていない確率は$\text{(2)}$である．

【２】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　座標平面において，円$C\text{：}{x}^2+y^2-4x-8y+10=0$とする．原点$\mathrm{O}$を通る直線$y=mx$が円$C$と共有点をもつとき，定数$m$の値の範囲は$\text{(3)}$である．また，点$\mathrm{P}$が円$C$上を一周するとき，線分$\mathrm{OP}$が通過する領域の面積は$\text{(4)}$である．

【３】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{\sin x}{2+\cos x}}$$\text{（}0\leqq x\leqq \pi \text{）}$について，次の問に答えよ．

(ⅰ)　$f(x)$の最大値を求めよ．

(ⅱ)　曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．