2025　福岡大学　前期理学部2月4日実施MathJax

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　不等式$|3x+5|\geqq 10$の解は$\text{(1)}$である．また，連立不等式$\{\begin{array}{l}5x-1<2x+3\sqrt{2}\\ |3x+5|\geqq 10\end{array}$の解は$\text{(2)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　$1\leqq x\leqq 125$のとき，関数$y={({\log }_{5}x)}^2-{\displaystyle \frac{1}{3}}{\log }_5{x}^2$の最小値は$\text{(3)}$である．また，$a>0\text{，}$$b>0\text{，}$$a+b=9$のとき，${\log }_{3}a+2{\log }_{3}b$の最大値は$\text{(4)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅲ)　$\alpha \text{，}$$\beta$を第$2$象限の角とする．$\tan \beta ={\displaystyle \frac{1}{2}}\tan \alpha -{\displaystyle \frac{1}{6}}$かつ$\tan (\alpha +\beta )=2$のとき，$\tan \alpha$の値は$\text{(5)}$であり，$\sin \beta$の値は$\text{(6)}$である．

【２】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{F}$の$6$人で，リレーの第$1$走者から第$6$走者までを決める．ただし，$1$人$1$回走ることとする．第$1$走者から第$3$走者までの中に$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{F}$が含まれる$6$人の走者の決め方は$\text{(1)}$通りある．また，第$1$走者と第$2$走者が$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$のいずれかであり，かつ第$3$走者が$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$のいずれかである$6$人の走者の決め方は$\text{(2)}$通りある．

【２】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　平面上の$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$が$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|=1\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|=2\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=1$をみたしている．このとき，$\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|$の値は$\text{(3)}$である．また，実数$s\text{，}$$t$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とおく．点$\mathrm{C}$が$\left|\overrightarrow{\mathrm{OC}}\right|=\sqrt{7}$をみたし，かつ$2$直線$\mathrm{AC}\text{，}$$\mathrm{OB}$が垂直となるとき，$(s,t)=\text{(4)}$である．

【３】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{2x}{x^2+1}}$$\text{（}x\geqq 0\text{）}$について，次の問に答えよ．

(ⅰ)　$f(x)$の極大値を求めよ．

(ⅱ)　曲線$y=f(x)$と直線$y={\displaystyle \frac{1}{2}}x$で囲まれた部分の面積を求めよ．

【３】　座標平面上の点$\mathrm{Q}(3,5)$と放物線$C\text{：}y=x^2$上を動く点$\mathrm{P}(t,t^2)$について，次の問に答えよ．

(ⅰ)　点$\mathrm{Q}$から放物線$C$へ引いた$2$本の接線の方程式とそれぞれの接点の座標を求めよ．

(ⅱ)　点$\mathrm{P}$が点$(2,4)$から点$(-3,9)$まで動くとき，線分$\mathrm{PQ}$が通過する領域の面積を求めよ．