2025　福岡大学　前期理学部2月3日実施MathJax

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　箱の中にネジが入っている．そのうち$70\mathrm{\%}$は工場$\mathrm{A}$で，$30\mathrm{\%}$は工場$\mathrm{B}$で作られたネジである．工場$\mathrm{A}$で作られたネジには$2\mathrm{\%}$の不良品があり，工場$\mathrm{B}$で作られたネジには$1\mathrm{\%}$の不良品があることがわかっている．箱からネジを$1$本取り出すとき，それが不良品である確率は$\text{(1)}$である．また，取り出したネジが不良品であるとき，それが工場$\mathrm{A}$で作られたものである確率は$\text{(2)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　$\mathrm{▵ABC}$において，$\mathrm{\angle ACB}=90\mathrm{°}\text{，}$辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}\text{，}$辺$\mathrm{BC}$の長さを$a\text{，}$辺$\mathrm{AC}$の長さを$b$とする．$\mathrm{▵ABC}$が半径$2$の円に内接し，等式$a\sin \mathrm{\angle BAC}$$=2b\sin \mathrm{\angle ABC}$が成り立っているとき，$a$の値は$\text{(3)}$であり，$\cos \mathrm{\angle BMC}$の値は$\text{(4)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅲ)　$\overrightarrow{a}=(2\sqrt{3},-3)\text{，}$$\overrightarrow{b}=(\sqrt{3},1)$のとき，ベクトル$\overrightarrow{p}=(7\sqrt{3},2)$を実数$s\text{，}$$t$を用いて$s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}$の形に表したとき，$(s,t)=\text{(5)}$となる．また，$u$を実数とするとき，$|\overrightarrow{a}+u\overrightarrow{b}|$の最小値は$\text{(6)}$である．

【２】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　$2$次方程式$x^2-2\sqrt{3}x$$-6=0$の$2$つの解を$\alpha \text{，}$$\beta$とするとき，${\displaystyle \frac{\alpha }{\beta }}+{\displaystyle \frac{\beta }{\alpha }}$の値は$\text{(1)}$である．また，$2$次式$f(x)$が$f(\alpha )={\beta }^2\text{，}$$f(\beta )={\alpha }^2\text{，}$$f(0)=-6$をみたすとき，$f(x)=\text{(2)}$である．

【２】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　正の奇数の列を

$\begin{array}{ccccccc}1& |& 3,5,7& |& 9,11,13,15,17& |& 19,\cdots \\ \text{第}1\text{群}& & \text{第}2\text{群}& & \text{第}3\text{群}& & \text{第}4\text{群}\end{array}$

のような群に分け，第$n$群には$(2n-1)$個の奇数が入るようにする．第$100$群の最初の数は$\text{(3)}$である．また，第$10$群に入る数の和は$\text{(4)}$である．

【３】　曲線$C\text{：}y=x\sin x$$\text{（}2\pi \leqq x\leqq 4\pi \text{）}$について，次の問に答えよ．

(ⅰ)　曲線$C$に原点から引いた$2$本の接線$l_1\text{，}$$l_2$の方程式を求めよ．ただし，$2$本の接線のうち接点の$x$座標が小さい方を$l_1$とする．

(ⅱ)　曲線$C$と接線$l_1$の接点を通り，$y$軸と平行な直線を$l_3$とする．$2$直線$l_2\text{，}$$l_3$および曲線$C$で囲まれた部分の面積を求めよ．

【３】　関数$f(x)=\{\begin{array}{ll}{(x+1)}^2& \text{（}x<-1\text{）}\\ 0& \text{（}-1\leqq x<0\text{）}\\ x^2& \text{（}0\leqq x\text{）}\end{array}$で表される曲線$C\text{：}y=f(x)$について，次の問に答えよ．

(ⅰ)　$\mathrm{P}(0,-3)$から曲線$C$の$x<-1$の部分に引いた接線を$l_1$とし，点$\mathrm{P}$から曲線$C$の$0\leqq x$の部分に引いた接線を$l_2$とする．接線$l_1\text{，}$$l_2$の方程式を求めよ．

(ⅱ)　$2$直線$l_1\text{，}$$l_2$および曲線$C$で囲まれた部分の面積を求めよ．