2025　福岡大学　系統別日程理,工,医(医学科)学系統2月2日実施MathJax

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　$k$を$0$でない定数とする．$3$点$(-2,-3)\text{，}$$(1,6)\text{，}$$(-1,2k)$を通る放物線の方程式を$y=a{x}^2+bx+c$としたとき，$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を定数$k$で表すと$(a,b,c)=\text{(1)}$である．この放物線が$x$軸の正の部分と共有点をもち，かつ負の部分とも共有点をもつとき，$k$の値の範囲は$\text{(2)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$の$3$人でじゃんけんを$1$回して，$1$つのボールを受け渡すゲームを行う．ただし，あいこも$1$回とする．$3$人のうち$1$人だけが勝ち，勝者がボールを持っていないとき，ボールの持ち主は勝者にボールを渡し，それ以外の場合はポールの持ち主は変わらないものとする．はじめに$\mathrm{A}$だけがボールを$1$つ持っているとき，$1$回のゲームでボールの持ち主が変わる確率は$\text{(3)}$であり，$4$回のゲームを行って$1$回も$\mathrm{B}$にボールが渡らない確率は$\text{(4)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅲ)　$10$個の実数からなるデータから$1$個のデータを取り除いたとき，平均値が$6$から$5$に変化した．このとき，取り除いたデータの値は$\text{(5)}$である．さらに，取り除いた残り$9$個のデータの分散が$50$であるとき，もとの$10$個のデータの分散は$\text{(6)}$である．

【２】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　数列$\{a_n\}$が${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k={\displaystyle \frac{1}{6}}n(n+4)$を満たすとき，一般項は$a_n=\text{(1)}$である．$b_n=\cos (\pi a_n)$とおくとき，${\displaystyle \sum _{k=1}^m}{b}_k=0$をみたす最小の自然数$m$は$\text{(2)}$である．

【２】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{P}\text{，}$辺$\mathrm{AB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{Q}\text{，}$辺$\mathrm{BC}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{R}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{PR}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて表すと$\overrightarrow{\mathrm{PR}}=\text{(3)}$である．また，辺$\mathrm{OC}$上に点$\mathrm{S}$をとる．$3$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$を通る平面上に$\mathrm{S}$があるとき，$\overrightarrow{\mathrm{OS}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて表すと$\overrightarrow{\mathrm{OS}}=\text{(4)}$である．

【３】　関数$f(x)=(1-x)\sqrt{2x+2}$$\text{（}-1\leqq x\leqq 1\text{）}$について，次の問に答えよ．

(ⅰ)　$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．

(ⅱ)　曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　三角形の頂点を反時計回り（時計の針の回転と逆向き）に$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$とする．三角形の頂点を動く点$\mathrm{P}$は$1$秒毎に${\displaystyle \frac{1}{6}}$の確率で反時計回りに隣の頂点に移動し，${\displaystyle \frac{1}{6}}$の確率で時計回りに隣の頂点に移動し，${\displaystyle \frac{2}{3}}$の確率でその場に留まる．$\mathrm{P}$が最初$\mathrm{A}$の位置にいるとき，$2$秒後に$\mathrm{P}$が$\mathrm{B}$の位置にいる確率は$\text{(1)}$であり，最初の$3$秒の間に$\mathrm{P}$が一度も$\mathrm{B}$の位置にいない確率は$\text{(2)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅲ)　放物線$C\text{：}y=x^2+5x+4$が直線$l_1\text{：}y=3x+k+1$と異なる$2$点で交わり，直線$l_2\text{：}y=3x+k$とも異なる$2$点で交わるとき，$k$の値の範囲は$\text{(5)}$である．この範囲の$k$に対して$C$と$l_1$の$2$つの交点と，$C$と$l_2$の$2$つの交点を頂点とする四角形の面積が$2$となる$k$の値は$\text{(6)}$である．

【２】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　数列$\{a_n\}$が${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k={\displaystyle \frac{1}{12}}n(n+7)$を満たすとき，一般項は$a_n=\text{(1)}$である．また，${\displaystyle \sum _{n=1}^{2025}}\cos (\pi a_n)$の値は$\text{(2)}$である．

【２】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　$10$個のデータ$-5\text{，}$$-2\text{，}$$2\text{，}$$5\text{，}$$6\text{，}$$8\text{，}$$9\text{，}$$10\text{，}$$12\text{，}$$15$の平均値を$m\text{，}$中央値を$M$すると$(m,M)=\text{(3)}$である．この$10$個のデータに$M$と異なる$1$個のデータ$a$を加えてできる$11$個のデータの平均値を$m^{\prime }\text{，}$中央値を$M^{\prime }$とする．このとき，${\displaystyle \frac{m^{\prime }-m}{M^{\prime }-M}}=101$となる$a$の値をすべて求めると$a=\text{(4)}$である．

【３】　$a$を正の定数とする．$2$曲線$C_1\text{：}y={\displaystyle \frac{1}{\cos x}}$$(0\leqq x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}})\text{，}$$C_2\text{：}y=a\sin x$$(0\leqq x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$について，次の問に答えよ．

(ⅰ)　$C_1$と$C_2$の共有点がただ$1$つであるとき，その共有点における$C_1$の接線$l$の方程式を求めよ．

(ⅱ)　(ⅰ)のとき，曲線$C_1\text{，}$$C_2$および$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．