2025　西南学院大学　全学部MathJax

【１】

1.　直線$(a-2)x$$+2y$$-a$$-2=0$は$a$の値にかかわらず，ある定点$(\text{ア},\text{イ})$を通る．この直線が円$x^2+y^2=1$に接するとき，$a={\displaystyle \frac{\text{ウ}}{\text{エ}}}$である．

【１】

2.　$2$つの変量$x\text{，}$$y$について，$10$組のデータ$(x_i,y_i)$$\text{（}i=1\text{，}$$\cdots \text{，}$$10\text{）}$を考える．データは，

${\displaystyle \sum _{i=1}^{10}}{x}_i=50\text{，}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{10}}{x_i}^2=274\text{，}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{10}}{y}_i=60\text{，}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{10}}{y_i}^2=450\text{，}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{10}}{x}_i{y}_i=652$

という関係を満たしている．このとき，$x$の平均値は$\text{オ}\text{，}$$x$の分散は$\text{カ}.\text{キ}\text{，}$$x$と$y$の共分散は$\text{クケ}.\text{コ}$である．

【１】

3.　$x>0$のとき，${\displaystyle \frac{x+1}{x^2+2x+4}}$の最大値は${\displaystyle \frac{\sqrt{\text{サ}}}{\text{シ}}}$となり，このときの$x$の値は$\sqrt{\text{ス}}-\text{セ}$である．

【２】

1.　一辺が$1$の正五角形$\mathrm{ABCDE}$とその外接円$\mathrm{O}$を考える．線分$\mathrm{BE}$と線分$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{F}$とする．以下の問に答えよ．

(1)　$\mathrm{\angle BAC}=\text{ソタ}\mathrm{°}\text{，}$$\mathrm{\angle ACD}=\text{チツ}\mathrm{°}$である．

(2)　$\mathrm{▵ABC}$と$\mathrm{▵AFB}$が相似であることに着目すると，$\mathrm{AC}={\displaystyle \frac{\text{テ}+\sqrt{\text{ト}}}{\text{ナ}}}$である．

(3)　$\cos \mathrm{\angle ACD}={\displaystyle \frac{\text{ニヌ}+\sqrt{\text{ネ}}}{\text{ノ}}}$である．

【２】

2.　$4$個のさいころを同時に投げる．以下の確率を求めよ．

(1)　$4$個のさいころの目がすべて$4$以下となる確率は${\displaystyle \frac{\text{ハヒ}}{\text{フヘ}}}$である．

(2)　$4$個のさいころの目のなかで，最大の目が$4$となる確率は${\displaystyle \frac{\text{ホマミ}}{1296}}$である．

(3)　$4$個のさいころの目のなかで，最大の目が$4\text{，}$最小の目が$2$となる確率は${\displaystyle \frac{\text{ムメ}}{648}}$である．

【３】　関数$f(x)={\displaystyle {\int }_3^x}(3t^2-4t-4)\mathit{dt}$について，以下の問に答えよ．

(1)　$y=f(x)$の極大値，および極小値と，それらの値をとるときの$x$の値を求めよ．

(2)　関数$y=f(x)$のグラフに点$(1,-1)$から引いた接線と，このグラフとで囲まれる部分の面積を求めよ．