2025　西南学院大学　人間科学部MathJax

【１】

1.　一辺の長さが$1$である正四面体$\mathrm{ABCD}$を考える．点$\mathrm{A}$から底面$\mathrm{BCD}$に下ろした垂線を$\mathrm{AH}$とする．辺$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{CD}$の中点をそれぞれ$\mathrm{I}\text{，}$$\mathrm{J}$とする．このとき，$\mathrm{AH}={\displaystyle \frac{\sqrt{\text{ア}}}{\text{イ}}}\text{，}$正四面体$\mathrm{ABCD}$の体積は${\displaystyle \frac{\sqrt{\text{ウ}}}{\text{エオ}}}\text{，}$$\cos \mathrm{\angle IAJ}={\displaystyle \frac{\text{カ}}{\text{キ}}}$である．

【１】

2.　数学の試験を実施したところ，点数の平均値は$55$点，標準偏差は$8$点であった．ここで，$2$つの方法で別々に点数を調整すると，次のようになった．

方法１：すべての受験者の点数を$2$点だけ増加させると，平均値は$\text{クケ}$点，分散は$\text{コサ}$になった．

方法２：受験者のうち，$\text{シ}$人の点数に$5$点を加えると，平均値は$55.2$点になり，さらにもう$1$人の点数に$5$点を加えると，平均値は$55.3$点になった．

【１】

3.　$a\text{，}$$b$は定数とする．また，$a\ne 0$である．不等式$|ax+2|\leqq b$の解が$-1\leqq x\leqq 5$のとき，$a=\text{スセ}\text{，}$$b=\text{ソ}$である．

【２】

1.　第$1$象限の座標平面において，点$\mathrm{P}(a,b)$を中心とする円$C$が，$y=x^2$と点$\mathrm{Q}(1,1)$で接し，また，$x$軸と点$\mathrm{R}(a,0)$で接している．以下の問に答えよ．

(1)　点$\mathrm{Q}$における円の接線$l$の式は，$y=\text{タ}x-\text{チ}$である．

(2)　点$\mathrm{Q}$において$l$と直交する直線の式は，$y={\displaystyle \frac{\text{ツテ}}{\text{ト}}}x+{\displaystyle \frac{\text{ナ}}{\text{ニ}}}$である．

(3)　点$\mathrm{P}$の座標は，$({\displaystyle \frac{\text{ヌ}+\sqrt{\text{ネ}}}{\text{ノ}}},{\displaystyle \frac{\text{ハ}-\sqrt{\text{ヒ}}}{\text{フ}}})$である．

【２】

2.　$2$つの放物線$C_1\text{：}y=x^2\text{，}$$C_2\text{：}y=x^2$$+4x-8$を考える．以下の問に答えよ．

(1)　$C_1$と$C_2$の両方に接する直線$l$の方程式は，$y=\text{ヘ}x-\text{ホ}$である．

(2)　$2$つの放物線$C_1\text{，}$$C_2$と直線$l$で囲まれた図形の面積は，${\displaystyle \frac{\text{マ}}{\text{ミ}}}$である．

【３】　直線$l$は傾きが$a$であり，点$(-1,0)$を通る．直線$l$が放物線$y=x^2$と異なる$2$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$で交わっている．以下の問に答えよ．

(1)　$a$のとりうる値の範囲を求めよ．

(2)　線分$\mathrm{PQ}$の中点$\mathrm{R}$の座標を，$a$を用いて表せ．

(3)　$a$が(1)の範囲を動くとき，点$\mathrm{R}$の軌跡を$xy$平面上に図示せよ．