2025　西南学院大学　商,経済,法学部MathJax

【１】

1.　整式$P(x)$は，${(x-1)}^2$で割ると余りが$2x+3$となり，${(x-2)}^2$で割ると余りが$3x+4$となる．$P(x)$を${(x-1)}^2(x-2)$で割ったときの商を$Q(x)\text{，}$余りを$a{x}^2+bx+c$とすると，$a=\text{ア}\text{，}$$b=\text{イウ}\text{，}$$c=\text{エ}$となる．また，$Q(x)=x-2$のとき，

$P(2-\sqrt{3}i)=\text{オ}-\text{カ}\sqrt{\text{キ}}i$

となる．ただし，$i$は虚数単位である．

【１】

2.　$\mathrm{▵OAB}$において，辺$\mathrm{OA}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{C}\text{，}$辺$\mathrm{OB}$を$4:1$に内分する点を$\mathrm{D}$とし，線分$\mathrm{AD}$と線分$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{P}$とする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}={\displaystyle \frac{\text{ク}}{\text{ケ}}}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+{\displaystyle \frac{\text{コ}}{\text{サ}}}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$である．

【１】

3.　$x^2<y<x<1$のとき，

$A={\log }_{x}y\text{，}$$B={\log }_y{\displaystyle \frac{y^2}{x}}\text{，}$$C={\log }_x{\displaystyle \frac{x}{\sqrt{y}}}$

とすると，$C=\text{シ}+{\displaystyle \frac{\text{スセ}}{\text{ソ}}}A$と表すことができる．また，$A\text{，}$$B\text{，}$$C$を大小の順に並べると，以下の選択肢の$\text{タ}$になる．

$\text{1．}A<B<C$$\text{2．}A<C<B$$\text{3．}B<A<C$

$\text{4．}B<C<A$$\text{5．}C<A<B$$\text{6．}C<B<A$

【２】

1.　さいころを投げると，右図のような三角形の$3$つの頂点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$の間を移動する点$\mathrm{P}$がある．最初は頂点$\mathrm{A}$にいるものとする．

　さいころの目が$1\text{，}$$2$のときは時計回りに隣の頂点に移動し，さいころの目が$3\text{，}$$4\text{，}$$5\text{，}$$6$のときは反時計回りに隣の頂点に移動する．以下の問に答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}$が$3$回移動したときに頂点$\mathrm{A}$にいる確率は${\displaystyle \frac{\text{チ}}{\text{ツ}}}$である．

(2)　点$\mathrm{P}$が$4$回移動したときに頂点$\mathrm{A}$にいる確率は${\displaystyle \frac{\text{テ}}{\text{トナ}}}$である．

(3)　点$\mathrm{P}$が$n$回移動したときに頂点$\mathrm{A}$にいる確率を$p_n\text{，}$頂点$\mathrm{B}$にいる確率を$q_n$とすると，$p_{n+2}={\displaystyle \frac{\text{ニ}}{\text{ヌ}}}{p}_n$$+{\displaystyle \frac{\text{ネ}}{\text{ノ}}}{q}_n+{\displaystyle \frac{\text{ハ}}{\text{ヒ}}}$である．

【２】

2.　$n$を自然数とする．以下の問に答えよ．

(1)　$A_n=2$$+2^2$$+2^3$$+\cdots$$+2^n$とおくとき，$A_n+2=2^{100}$を満たす$n$の値は，$\text{フへ}$である．

(2)　$B_n=1\cdot 2$$+2\cdot 2^2$$+3\cdot 2^3$$+\cdots$$+n\cdot 2^n$とおくとき，${\displaystyle \frac{B_n-2}{n-1}}=8^{100}$を満たす$n$の値は，$\text{ホマミ}$である．

【３】　$a$を実数の定数とする．$2$つの関数を$f(x)=x^3$$-3x^2-9x\text{，}$$g(x)=-6x^2$$+63x+a$とする．以下の問に答えよ．

(1)　$0\leqq x\leqq 5$を満たすすべての$x$に対して，$f(x)\geqq g(x)$となるような$a$の値のうち，最大となるものを求めよ．

(2)　$0\leqq u\leqq 5\text{，}$$0\leqq v\leqq 5$を満たすすべての$u\text{，}$$v$に対して，$f(u)\geqq g(v)$となるような$a$の値のうち，最大となるものを求めよ．