2025　産業医科大学　推薦医学部MathJax

【３】　以下の設問（問１〜問７）に答えなさい．

問１)　次の文章を読んで，本文中の空欄(ア)〜(ウ)に適した整数をそれぞれの解答欄に記入しなさい．

　あなたは$\mathrm{S}$大学病院の外科で，手術の予定を決める担当をしています．ある日，$5$つの異なる手術$\text{（}1\text{〜}$$5\text{）}$が予定されていて，それぞれの手術に$5$人の医師$\text{（}\mathrm{A}\text{〜}$$\mathrm{E}\text{）}$の中から$1$人ずつ執刀医として割り当てる必要があります．$1$人の医師が$2$つ以上の手術を担当することはできません．各医師は得意分野が各々異なるため，各手術を完了するために要する時間は表１の通りです（単位：時間）．

　しかしながら，医師の勤務時間や手術ができる時間帯には制限があります．医師$\mathrm{B}$と医師$\mathrm{D}$は育児中のため，医師$\mathrm{B}$は$9$時から$15$時まで，医師$\mathrm{D}$は$12$時から$18$時までの短時間の勤務です．そのため，たとえば医師$\mathrm{B}$は手術$3$を行うことができません．また，医師$\mathrm{E}$は「医師の働き方改革」が開始されたことに伴い，勤務間インターバル確保（前の勤務から次の勤務までの間を法律で決められた時間あけること）のため，$12$時から$20$時までの勤務です．医師$\mathrm{A}$と医師$\mathrm{C}$は定時の$9$時から$17$時までの通常勤務が可能です．手術室は$5$つあるためそれぞれの手術は独立して行うことができますが，手術ができる時間帯に制限があり，手術$1\text{，}$手術$2\text{，}$手術$3$は$9$時から$17$時の間，手術$4$は$9$時から$14$時の間，手術$5$は$14$時から$18$時の間に行う必要があります．そのため医師によっては行うことが$\stackrel{\cdot }{\text{で}}$$\stackrel{\cdot }{\text{き}}$$\stackrel{\cdot }{\text{な}}$$\stackrel{\cdot }{\text{い}}$手術があります（たとえば医師$\mathrm{E}$は手術$4$と手術$5$を行うことができません）．

　以上のような制限の下で「ハンガリアン法」を用いて，$\stackrel{\cdot }{\text{全}}$$\stackrel{\cdot }{\text{手}}$$\stackrel{\cdot }{\text{術}}$$\stackrel{\cdot }{\text{の}}$$\stackrel{\cdot }{\text{合}}$$\stackrel{\cdot }{\text{計}}$$\stackrel{\cdot }{\text{時}}$$\stackrel{\cdot }{\text{間}}$$\stackrel{\cdot }{\text{を}}$$\stackrel{\cdot }{\text{最}}$$\stackrel{\cdot }{\text{小}}$$\stackrel{\cdot }{\text{に}}$$\stackrel{\cdot }{\text{す}}$$\stackrel{\cdot }{\text{る}}$$\stackrel{\cdot }{\text{組}}$$\stackrel{\cdot }{\text{み}}$$\stackrel{\cdot }{\text{合}}$$\stackrel{\cdot }{\text{わ}}$$\stackrel{\cdot }{\text{せ}}$を考えます．まず準備として，表１で各医師が行うことができない手術のマス（たとえば医師$\mathrm{E}$の手術$4$と手術$5\text{）}$に×をつけ，以下の作業では考慮に入れません．次に，各医師の最小の手術時間をその医師のそれぞれの手術時間から引きます（たとえば医師$\mathrm{E}$なら手術$1$の$3$時間が最小なので医師$\mathrm{E}$の手術$1$から$5$までそれぞれのマスは，$0\text{，}$$1\text{，}$$2\text{，}$×，×になります）．これを全ての医師について行います．そこから次に，各手術（縦の列）についても最小の数字をその列のそれぞれの数字から引きます（医師$\mathrm{E}$の手術$3$のマスは$1$になります）．これも全ての手術について行います．

　最終的に得られた表において，それぞれの医師の手術$1$から$5$までのマスで$0$が$1$つだけの場合は，その医師はそのマスの手術をすることになります（たとえば医師$\mathrm{E}$は手術$1$のマスだけが$0$なので，医師$\mathrm{E}$は手術$1$を担当します）．次にそれぞれの手術（縦の列）で$0$のマスが$1$つだけの場合は，そのマスの医師がその手術を行います．このようにそれぞれの医師が担当する手術を割り当てると，医師$\mathrm{C}$は手術（ア），医師$\mathrm{D}$は手術（イ）を担当することになり，全手術の合計時間は（ウ）時間となります．

【３】　以下の設問（問１〜問７）に答えなさい．

問２)　$0\leqq x<2\pi$のとき，${\displaystyle \frac{\cos x+1}{\sin x+3}}$の最大値を求めなさい．

【３】　以下の設問（問１〜問７）に答えなさい．

問３)　連立方程式

$\{\begin{array}{l}2x{\log }_{5}3+{\log }_{5}y=0\\ {\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^x-y+6=0\end{array}$

をみたす実数$x\text{，}$$y$を求めなさい．

【３】　以下の設問（問１〜問７）に答えなさい．

問４)　$2$種類の試薬${\mathrm{M}}_1\text{，}$${\mathrm{M}}_2$がある．それぞれの試薬$1\mathrm{g}$あたりの成分$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$の含有量および価格は表２のようになっている．ある実験を行うためには，成分$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$はそれぞれ$\mathrm{A}\text{：}100\mathrm{mg}\text{，}$$\mathrm{B}\text{：}110\mathrm{mg}$以上必要であるが，$\mathrm{C}$は最大$80\mathrm{mg}$をこえてはいけないことになっている．この実験を${\mathrm{M}}_1\text{，}$${\mathrm{M}}_2$の$2$つの試薬を購入して行う場合，かかる費用の最小値はいくらか求めなさい．

【３】　以下の設問（問１〜問７）に答えなさい．

問５)　原点を$\mathrm{O}$とする空間に$3$点

$\mathrm{A}(-{\displaystyle \frac{3\sqrt{6}}{8}},{\displaystyle \frac{15\sqrt{2}}{8}},-{\displaystyle \frac{3\sqrt{2}}{4}})$

$\mathrm{B}(-{\displaystyle \frac{3\sqrt{6}}{4}},-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{4}},-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}})$

$\mathrm{C}({\displaystyle \frac{5}{4}},{\displaystyle \frac{5\sqrt{3}}{4}},{\displaystyle \frac{5\sqrt{3}}{2}})$

がある．

　平面$P$は原点$\mathrm{O}$を含み$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$に垂直である．

　平面$Q$は原点$\mathrm{O}$を含み$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$に垂直である．

　平面$R$は原点$\mathrm{O}$を含み$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$に垂直である．

　$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$の定める平面を$S$とする．$4$つの平面$P\text{，}$$Q\text{，}$$R\text{，}$$S$で囲まれる立体の体積を求めなさい．

【３】　以下の設問（問１〜問７）に答えなさい．

問６)　初項$a_1=50$の等差数列$\{a_n\}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{）}$がある．第$10$項$a_{10}$から第$19$項$a_{19}$までの和は$95$である．この数列の初項$a_1$から$a_n$までの和を$S_n$とするとき，$S_n$が最大になる$n$の値を求めなさい．

【３】　以下の設問（問１〜問７）に答えなさい．

問７)　座標空間内を次の規則に従って移動する．

　移動前の座標を$(x,y,z)$とする．ただし，$x\text{，}$$y\text{，}$$z$は整数である．サイコロを投げ，出た目に応じて表３のように隣の点に移る．これを繰り返す（一度通った点に戻ることもできる）．

　原点$\mathrm{O}(0,0,0)$を出発し，$4$回移動した後に原点$\mathrm{O}$にいる確率を既約分数で求めなさい．