2025　関西学院大学　神,社会,経済,国際,教育学部2月7日実施MathJax

(1)　下の表は，$8$人の生徒に$2$種類の小テスト$\mathrm{X}\text{，}$$\mathrm{Y}$を行った得点の結果である．小テスト$\mathrm{X}$の得点を$x$(点)，小テスト$\mathrm{Y}$の得点を$y$(点)とすると，変量$x$の平均値は$5$(点)，変量$y$の平均値は$6$(点)であった．

(ⅰ)　$a=\text{ア}$(点)である．また，変量$y$の分散は$\text{イ}$である．

(ⅱ)　$2$種類の小テスト$\mathrm{X}\text{，}$$\mathrm{Y}$の得点を調整することにした．変量$z$を$z=x+1$とし，変量$w$を$w=y-1$とする．このとき$2$つの変量$z\text{，}$$w$の共分散は$\text{ウ}$であり，相関係数は$\text{エ}$である．

(2)　正$12n$角形$\text{（}n$は自然数）の異なる$3$つの頂点を選び，これらの$3$点を頂点とする三角形$T$をつくるとする．なお，解答は既約分数にすること．

(ⅰ)　$n=1$のとき，$T$がもとの正十二角形と$2$つの辺を共有する確率は$\text{オ}$である．また，$n=1$のとき，$T$が正三角形である確率は$\text{カ}$である．

(ⅱ)　$T$が直角三角形であったとき，$T$が直角二等辺三角形である条件付き確率は$\text{キ}$である．

(1)　$x$の方程式

$2\sin x$$-2\sqrt{3}\cos x$$-\sqrt{3}\sin 2x$$+\cos 2x$$-1=0$$\text{（}0\leqq x\leqq \pi \text{）}$$\cdots \text{①}$

を考える．また，$t=\sin x$$-\sqrt{3}\cos x$とおく．

(ⅰ)　$0\leqq x\leqq \pi$のとき，$t$の取りうる値の範囲は$\text{ア}$である．

(ⅱ)　方程式$\text{①}$の左辺を$t$を用いて表すと，$\text{イ}$である．

(ⅲ)　方程式$\text{①}$を解くと，$x=\text{ウ}$である．

(2)　四面体$\mathrm{OABC}$において，$\mathrm{OA}=2\text{，}$$\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=1\text{，}$$\mathrm{\angle AOB}$$=\mathrm{\angle BOC}$$=\mathrm{\angle COA}=60\mathrm{°}$とする．辺$\mathrm{OA}\text{，}$$\mathrm{BC}$の中点をそれぞれ$\mathrm{M}\text{，}$$\mathrm{N}$とし，線分$\mathrm{MN}$の中点を$\mathrm{P}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\text{エ}$であり，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\text{オ}$である．直線$\mathrm{OP}$と平面$\mathrm{ABC}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\text{カ}$であり，$\mathrm{▵OAQ}$の面積は$\text{キ}$である．

(1)　$f(x)$の最小値とそのときの$x$の値を求めよ．

(2)　曲線$C$上の点$(0,f(0))$における曲線$C$の接線を$l$とする．$l$の方程式を求めよ．

(3)　曲線$C$と$x$軸および$y$軸で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

(4)　(2)で求めた直線$l$と曲線$C$で囲まれた部分の面積$T$を求めよ．