2025　関西学院大学　文,法,商,人間福祉,総合政策学部2月6日実施MathJax

【１】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　$a$を実数とし，座標平面上の放物線$y=-x^2$$+3x$$+a-3$を$C_1$とする．

(ⅰ)　放物線$C_1$がすべての象限を通っているとき，$a$の取りうる値の範囲は$\text{ア}$である．

(ⅱ)　放物線$C_1$を$x$軸方向に$-2\text{，}$$y$軸方向に$-2$だけ平行移動した放物線を$C_2$とする．$C_2$が$x$軸と接しているとき，$a=\text{イ}$である．

(ⅲ)　$a=\text{イ}$とする．このとき，(ⅱ)の放物線$C_2$を$x$軸方向に$b\text{，}$$y$軸方向に$b$だけ平行移動した放物線を$C_3$とする．放物線$C_3$が$x$軸から切り取る線分の長さが$3$であるとき，$b=\text{ウ}$である．

【１】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　座標平面上の原点にある動点$\mathrm{P}$が，次の規則にしたがって動くとする．

なお，解答は既約分数にすること．

(ⅰ)　さいころを$3$回投げ終えた時点で，点$\mathrm{P}$が点$(2,1)$にある確率は$\text{エ}$であり，点$(2,2)$にある確率は$\text{オ}$である．

(ⅱ)　さいころを$4$回投げ終えた時点で，点$\mathrm{P}$が点$(3,3)$にある確率は$\text{カ}$であり，直線$y=x$上にある確率は$\text{キ}$である．

【２】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　$a$を実数とし，関数$y={({\log }_{9}x)}^2$$+{\log }_3\left({\displaystyle \frac{3}{x^a}}\right)$$\text{（}1\leqq x\leqq 27\text{）}$を考える．

(ⅰ)　$a={\displaystyle \frac{1}{2}}$とする．$y$は$x=\text{ア}$のとき，最小値$\text{イ}$をとる．

(ⅱ)　$y$の最大値が$3$であるとき，$a=\text{ウ}$である．

【２】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　四角形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB}=2\sqrt{2}\text{，}$$\mathrm{AD}=1$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{b}$とし，$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}={\displaystyle \frac{3}{2}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AC}}={\displaystyle \frac{1}{3}}(2\overrightarrow{a}+5\overrightarrow{b})$を満たしているとする．さらに，辺$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{CD}$の中点をそれぞれ$\mathrm{M}\text{，}$$\mathrm{N}$とし，直線$\mathrm{AN}\text{，}$$\mathrm{DM}$の交点を$\mathrm{P}$とする．

(ⅰ)　$\overrightarrow{\mathrm{AN}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{AN}}=\text{エ}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\text{オ}$である．

(ⅱ)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|=\text{カ}$である．また，点$\mathrm{P}$を中心とし点$\mathrm{A}$を通る円と直線$\mathrm{AB}$の交点のうち$\mathrm{A}$でない方を$\mathrm{Q}$とすると，$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=\text{キ}\overrightarrow{a}$である．

【３】　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を実数とし，曲線$y=x^3$$+x^2+ax$を$C_1\text{，}$曲線$y=x^2$$+bx+c$を$C_2$とする．曲線$C_1$は点$\mathrm{A}(1,-3)$を通り，曲線$C_1\text{，}$$C_2$はともに点$\mathrm{B}(-1,5)$で同じ直線$l$に接しているとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a$の値を求めよ．また，直線$l$の方程式を求めよ．

(2)　$b\text{，}$$c$の値を求めよ．

(3)　曲線$C_1\text{，}$$C_2$の共有点のうち，点$\mathrm{B}$と異なる共有点の座標を求めよ．

(4)　曲線$C_1\text{，}$$C_2$で囲まれた部分のうち，直線$l$の下側の部分の面積を$S\text{，}$上側の部分の面積を$T$とする．$S\text{，}$$T$を求めよ．