2025　関西学院大学　理系共通テスト併用2月5日実施MathJax

【１】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　複素数平面において，点$6$を，点$4i$を中心として${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$だけ回転した点は$\text{ア}$であり，${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$だけ回転した点は$\text{イ}$である．

【１】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　座標空間に$4$点$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}$$\mathrm{A}(-1,2,3)\text{，}$$\mathrm{B}(2,4,4)\text{，}$$\mathrm{P}(3t-1,2t+2,t+3)$があり，線分$\mathrm{AB}$を$3:2$に外分する点を$\mathrm{C}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を成分で表すと$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\text{ウ}$である．$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$が垂直であるとき，実数$t$の値は$t=\text{エ}$である．

【１】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(3)　数列$\{a_n\}$は公比$r$の等比数列で，$a_3={\displaystyle \frac{8}{9}}\text{，}$$a_5={\displaystyle \frac{32}{81}}$とする．$r>0$のとき，一般項$a_n$を$n$の式で表すと，$a_n=\text{オ}$である．また，$r<0$のとき，無限級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{a}_n$の和は$\text{カ}$である．

【１】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(4)　$a$は実数とし，$P(x)=2x^3$$+(a+2)x^2$$+(a-3)x$$-a+2$とする．$3$次方程式$P(x)=0$が$x=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$を解にもつとき，$a=\text{キ}$であり，最大の解は$x=\text{ク}$である．

【２】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

　$x=\cos \theta$とおく．$\cos 2\theta$と$\cos 3\theta$を$x$の多項式で表すと$\cos 2\theta =\text{ア}\text{，}$$\cos 3\theta =\text{イ}$である．$a\text{，}$$b$は実数とし，$f(\theta )=\cos 3\theta$$+a\cos 2\theta$$+b\cos \theta$とおく．$0\leqq \theta <\pi$において

$g(\theta )={\displaystyle \frac{f(\theta )-f(\pi )}{\cos \theta +1}}$

とするとき，$x$のとりうる値の範囲は$\text{ウ}$であり，$g(\theta )$を$x$の多項式で表すと$g(\theta )=\text{エ}$である．

　$a\leqq -2$のとき$g(\theta )$の最小値は$\text{オ}\text{，}$$-2<a<\text{カ}$のとき$g(\theta )$の最小値は$\text{キ}$である．

　$a\geqq \text{カ}$のとき$g(\theta )$の最小値は存在しない．

　また，$g(\theta )$の最大値が存在するような$a$の値の範囲は$\text{ク}$である．

【３】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

　$1$から$n$までの番号が$1$つずつ書かれている$n$個の球が，箱の中に入っている．この箱の中から$3$個の球を同時に取り出す．ただし$n\geqq 4$である．

(1)　$n=4$のとき，取り出し方は全部で$\text{ア}$通りある．

(2)　$n=5$とする．取り出した球に書かれている$3$つの数が連続しているような取り出し方は$\text{イ}$通りあり，その確率は$\text{ウ}$である．また，取り出した球に書かれている$3$つの数のうち，どの$2$つも連続していない確率は$\text{エ}$である．

(3)　取り出した球に書かれている$3$つの数のうち，$2$つだけが連続しているような取り出し方は，連続する$2$数の組が$\{1,2\}\text{，}$$\{n-1,n\}$のとき，それぞれ$\text{オ}$通りあり，$\{s,s+1\}$$\text{（}s=2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{，}$$n-2\text{）}$のとき，それぞれ$\text{カ}$通りある．したがって，取り出した球に書かれている$3$つの数のうち，$2$つだけが連続している確率$p(n)$は$\text{キ}$であり，$p(n)$$\text{（}n\geqq 4\text{）}$の最大値は$\text{ク}$である．

【４】　$2$つの関数$f(x)$と$g(x)$を

$f(x)=1-{\displaystyle \frac{1}{1+x^2}}\text{，}$$g(x)=-x^2+{\displaystyle \frac{3}{2}}$

とし，$2$つの曲線$C_1$と$C_2$を，$C_1\text{：}y=f(x)\text{，}$$C_2\text{：}y=g(x)$とする．また，曲線$C_1$と曲線$C_2$で囲まれた部分を$D$とする．次の問いに答えよ．

(1)　関数$f(x)$の最小値を求めよ．

(2)　曲線$C_1$と曲線$C_2$の共有点の座標を求めよ．

(3)　$D$の面積$S$を求めよ．

(4)　$D$を$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．