2025　関西学院大学　文系共通テスト併用2月5日実施MathJax

【１】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　四面体$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB}=3\text{，}$$\mathrm{BC}=\sqrt{13}\text{，}$$\mathrm{AD}=3\text{，}$$\mathrm{\angle BAC}=60\mathrm{°}$であり，直線$\mathrm{AD}$は平面$\mathrm{ABC}$に垂直であるとする．

(ⅰ)　辺$\mathrm{AC}$の長さは$\text{ア}$であり，$\mathrm{▵ABC}$の面積は$\text{イ}$である．

(ⅱ)　$\cos \mathrm{\angle BDC}=\text{ウ}$であり，点$\mathrm{A}$と平面$\mathrm{BCD}$の距離は$\text{エ}$である．

【１】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　袋の中に赤玉，白玉，青玉が$3$個ずつ，合計$9$個の玉が入っている．この袋から同時に$3$個の玉を取り出し，取り出した赤玉の個数を$X$とする．なお，解答は既約分数にすること．

(ⅰ)　$X=0$である確率は$\text{オ}$であり，$X=2$である確率は$\text{カ}$である．

(ⅱ)　$X=1$であったとき，白玉を取り出していない条件付き確率は$\text{キ}$である．

【２】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　$a$を$-{\displaystyle \frac{1}{2}}<a<0$である実数とし，円$x^2+y^2$$+6ax$$-2ay$$+6a^2$$-4a$$-1=0$を$C$とする．

(ⅰ)　$a$の値にかかわらず，円$C$の中心は直線$y=\text{ア}$上にある．また，円$C$が$y$軸と異なる$2$点で交わるとき，$a$の取りうる値の範囲は$\text{イ}$である．

(ⅱ)　円$C$が円$x^2+y^2=1$と外接するとき，$a=\text{ウ}$である．

【２】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　数列$\{a_n\}$について，初項から第$n$項までの和$S_n$は$S_n=2a_n$$-(n-1)(n-2)$を満たしているとする．

(ⅰ)　初項$a_1=\text{エ}$である．また，$a_{n+1}$を$a_n$を用いて表すと，$a_{n+1}=\text{オ}$である．

(ⅱ)　$\gamma$を実数とし，$b_n=a_n+\gamma n$とおく．数列$\{b_n\}$が等比数列となるとき，$\gamma =\text{カ}$である．また，このとき，数列$\{a_n\}$の一般項は$a_n=\text{キ}$である．

【３】　$k$を実数とし，$x$の方程式

$\left|x\right|(x^2+2x-4)+k=0$$\cdots \text{①}$

を考える．次の問いに答えよ．

(1)　関数$f(x)=x^3$$+2x^2-4x$の極値と，そのときの$x$の値を求めよ．

(2)　$k=5$のとき，方程式$\text{①}$の実数解を求めよ．

(3)　方程式$\text{①}$が異なる$4$個の実数解をもつとき，$k$の取りうる値の範囲を求めよ．また，このときの最大の解を$\alpha$とするとき，$\alpha$の取りうる値の範囲を求めよ．